Construcción de nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas. Ejemplos.

En el libro «Foundations of differenciable manifolds and Lie groups» de Warner comenta como construir nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas.

Dada una variedad $latex (M,mathcal{A})$ donde

$latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$

y si consideramos un abierto $latex N subset M$ entonces $latex (N,mathcal{A}_N)$ con:

$latex mathcal{A}_N = { varphi_i|_{U_i cap N}: U_i cap N longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$

es una variedad diferenciable.

Si $latex (M, mathcal{A}_1)$ y $latex (N,mathcal{A}_2)$ son dos variedades diferenciables de dimensión $latex p$ y $latex q$ respectivamente donde

$latex mathcal{A}_1 = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^p}_{i in I}$

y

$latex mathcal{A}_2 = { psi_j: V_j longrightarrow mathbb{R}^q}_{j in J}$

entonces $latex (M times N, mathcal{A}_1 times mathcal{A}_2)$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex p+q$ donde:

$latex mathcal{A}_1 times mathcal{A}_2 = { varphi_i times psi_j: U_i times V_j longrightarrow mathbb{R}^p times mathbb{R}^q}_{i in I, j in J}$

Esta propiedad nos permite demostrar que el toro es una variedad diferenciable. Si consideramos las variedades $latex S(r)$ y $latex S(R)$ con $latex r<R$ entonces $latex T(R,r) = S(R) times S(r)$.

Finalmente, si $latex (M,mathcal{A})$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ con $latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n}_{i in I}$ y sea $latex f: Mlongrightarrow N$ una aplicación biyectiva. Si

$latex mathcal{A}_f = { varphi_i circ f^{-1}: f(U_i) longrightarrow mathbb{R}^n}_{i in I}$

entonces $latex (N, mathcal{A}_f)$ es una variedad diferenciable de dimensión $latex n$.

Esta propiedad nos permite decir que todo espacio vectorial de dimensión finita es una variedad diferenciable. Efectivamente, sea $latex V$ un espacio vectorial de dimensión $latex n$ sobre $latex mathbb{R}$ y $latex {u_1,ldots,u_n}$ una base. Entonces existe un único isomorfismo lineal $latex f: mathbb{R}^n longrightarrow V$ tal que $latex f(e_i) = u_i$ donde $latex { e_1, ldots, e_n}$ es la base canónica de $latex mathbb{R}^n$.  Entonces $latex (V,mathcal{A_f})$ es una variedad diferencial de dimensión $latex n$.