En el libro «Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups» de F. Warner, encontramos que un grupo de Lie es una variedad diferenciable $latex G$ en la que tenemos definida una operación $latex G times G longrightarrow G$ tal que:
$latex rho: G times G longrightarrow G ,/, (sigma,tau) mapsto rho(sigma,tau) = sigma tau^{-1}$
es una aplicación diferenciable.
Si fijamos $latex sigma in G$ entonces podemos definir la translación a izquierda por $latex sigma$ y la traslación a derecha por $latex sigma$ de la siguiente manera:
$latex l_sigma(tau) = sigma tau$
$latex r_sigma(tau) = tau sigma$
para cualquier $latex tau in G$. En ambos casos tenemos un difeomorfismo. Si $latex H subset G$ entonces denotamos $latex r_sigma(H)$ por $latex Hsigma$ y $latex l_sigma(H)$ por $latex sigma H$.
El grupo general lineal $latex Gl(n,mathbb{K})$ es el ejemplo mas importante de grupo de Lie. Está formado por los automorfismos de $latex mathbb{K}^n$. Por ser un espacio vectorial, como ya comentamos, es una variedad diferenciable y tiene estructura de grupo con la composición. También puede pensarse como $latex mathcal{M}_n(mathbb{K})$.