Métricas como campos tensoriales sobre variedades.

Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y $latex 1$-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas.

Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann:

$latex g_m: T_mM times T_mM longrightarrow mathbb{R}$

podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo $latex (0,2)$. Efectivamente, ya que en cada $latex m in M$ tenemos definido:

$latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$.

Por lo tanto, tenemos que $latex g: M longrightarrow T^{(0,2)}M$ define una métrica sobre la variedad $latex M$.

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ es:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

que en notación de productos tensoriales queda:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

Acabamos de ver que $latex g_m in mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R})$. En nuestro caso, una base de $latex T_mM$ es:

$latex { frac{partial}{partial r}|_m, frac{partial}{partial theta}|_m, frac{partial}{partial varphi}|_m, frac{partial}{partial tau}|_m}$

por lo que $latex dim T_mM = 4$ y su base dual:

$latex { dr_m, dtheta_m, dvarphi_m, dtau_m }$

es una base de $latex T_m^*M$ con $latex dim T_m^*M = 4$. Como:

$latex mathcal{L}(T_mM times T_mM, mathbb{R}) cong otimes^2 T_m^*M = T_m^{(0,2)}M$

tenemos que:

$latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = dim T_m^*M cdot dim T_m^*M = 4 cdot 4 = 16$

y una base de $latex T_m^*M otimes T_m^*M$ es:

$latex { dr_m otimes dr_m, dr_m otimes dtheta_m, dr_m otimes dvarphi_m, dr_m otimes dtau_m,$

$latex dtheta_m otimes dr_m, dtheta_m otimes dtheta_m, dtheta_m otimes dvarphi_m, dtheta_m otimes dtau_m,$

$latex dvarphi_m otimes dr_m, dvarphi_m otimes dtheta_m, dvarphi_m otimes dvarphi_m, dvarphi_m otimes dtau_m,$

$latex dtau_m otimes dr_m, dtau_m otimes dtheta_m, dtau_m otimes dvarphi_m, dtau_m otimes dtau_m }$

Las componentes de nuestra métrica en esta base son:

$latex g_{11} = frac{1}{1-frac{2M}{r}}$, $latex g_{22} = r^2$, $latex g_{33} = r^2 sin^2 theta$, $latex g_{44} = -(1-frac{2M}{r})$ y $latex g_{ij} = 0$ si $latex i neq j$.

En general, dada una variedad $latex M$ de dimensión $latex dim M = n$ y un punto $latex m in M$, entonces $latex dim T_mM = dim T_m^*M = n$ y $latex dim T_m^*M otimes T_m^*M = n^2$, por lo que $latex g_m in mathcal{M}_n(mathbb{R})$.

Si llamamos $latex x^1$ a la coordenada $latex r$, $latex x^2$ a la coordenada $latex theta$, $latex x^3$ a la coordenada $latex varphi$ y $latex x^4$ a la coordenada $latex tau$, entonces podemos referirnos a la métrica $latex g$ de una forma mas compacta:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g_{alphabeta}dx^alpha otimes dx^beta$

que en física y siguiendo el convenio de suma de Einstein, con índices griegos variando de $latex 1$ a $latex 4$ y indices latinos haciendolo entre $latex 1$ y $latex 3$, queda:

$latex g_{alpha beta}dx^alpha dx^beta$

Si calculamos la inversa de la matriz $latex g_{alpha gamma}g^{gamma beta} = delta_alpha^beta$ obtenemos las componentes contravariantes de la métrica:

$latex g = sum_{alpha,beta=1}^4 g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} otimes frac{partial}{partial x^beta} equiv g^{alpha beta} frac{partial}{partial x^alpha} frac{partial}{partial beta}$

que en el caso que nos ocupa son:

$latex g^{11} = 1-frac{2M}{r} $, $latex g^{22}= frac{1}{r^2}$, $latex g^{33}=frac{csc theta}{r^2}$ y $latex g^{44}=-frac{1}{1-frac{2M}{r}}$

por lo que nos queda:

$latex g= 1-frac{2M}{r} frac{partial}{partial r} otimes frac{partial}{partial r} + frac{1}{r^2}frac{partial}{partial theta} otimes frac{partial}{partial theta} + frac{csc theta}{r^2}frac{partial}{partial varphi} otimes frac{partial}{partial varphi} -frac{1}{1-frac{2M}{r}}frac{partial}{partial tau} otimes frac{partial}{partial tau}$

que también puede escribirse:

$latex g= 1-frac{2M}{r} partial_r^2 + frac{1}{r^2} partial_theta^2 + frac{csc theta}{r^2} partial_varphi^2 -frac{1}{1-frac{2M}{r}} partial_tau^2$

Tags: , , , , , , ,

Reply

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *


¡IMPORTANTE! Responde a la pregunta: ¿Cuál es el valor de 15 2 ?