Funciones analíticas.

Consideraremos el plano complejo $latex mathbb{C}$ dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia $latex d(z,w) = |z-w|$. Llamaremos disco abierto de centro $latex z_0$ y radio $latex r$ al conjunto:

$latex D(z_0,r):= { z in mathbb{C}: |z-z_0|<r }$.

Dada una sucesión de números complejos $latex { z_n }_{n geq 0}$, diremos que es convergente a un número complejo $latex z$ cuando $latex |z-z_0| rightarrow 0$ si $latex n rightarrow infty$.

Una serie $latex sum_{n geq 0} z_n$ es convergente a $latex z in mathbb{C}$ cuando la sucesión de sumas parciales $latex { sum_{n=0}^m z_n}_{m geq 0}$ es convergente a $latex z$.

La serie $latex sum_{n geq 0} z_n$ es absolutamente convergente cuando $latex sum_{n geq 0} |z_n|$ converge.
Teorema (Criterio de la raíz o Cauchy, de Dirichlet, de sumación parcial de Abel, de Dirichlet y de Abel): son una serie de criterios que permiten determinar cuando una serie es convergente, absolutamente convergente o divergente.

Una serie de potencias centrada en $latex z_0 in mathbb{C}$, es una serie de la forma:

$latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$

con $latex c_n, z in mathbb{C}$. Al punto $latex z_0$ se le llama centro de la serie y a la sucesión $latex { c_n }$ coeficientes de la serie de potencias.

Definición (Radio de convergencia): Definimos el radio de convergencia como:

$latex R = (limsup_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_n|})^{-1} in [0,+infty[$,

donde asumiremos que $latex frac{1}{+infty}=0$ y $latex frac{1}{0} = +infty$ y que $latex R = +infty Rightarrow D(z_0,R) = mathbb{C}$.

Teorema (Cauchy-Hadamard): Sea $latex R$ el radio de convergencia de $latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$, entonces la serie converge absolutamente en $latex |z-z_0|<R$ y diverge en $latex |z-z_0|>R$. Además, la serie converge uniformemente en $latex |z-z_0| leq r$ con $latex 0 leq r < R$ (subconjuntos compactos de $latex D(z_0,R)$).

Corolario: la serie de potencias $latex sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$ define una función continua en el interior del disco de convergencia $latex |z-z_0| < R$.

Teorema (Principio de los ceros aislados): Sea

$latex f(z)= sum_{n geq 0} c_n (z-z_0)^n$

con radio de convergencia $latex R > 0$. Entonces si $latex f(z_0) = 0$ y $latex f$ no es idénticamente nula, existe $latex delta > 0$ tal que $latex f(z) neq 0$ si $latex 0< |z-z_0|< delta$.

Lo que nos dice este principio es, sencillamente, que los ceros de las funciones analíticas no son puntos de acumulación, es decir, que son puntos aislados.

Definición (Función analítica): Sea $latex U subset mathbb{C}$ un abierto, $latex f:U longrightarrow mathbb{C}$ y $latex z_0 in U$. Diremos que $latex f$ es analítica en $latex z_0$ si existe $latex D(z_0,R) subset U$ tal que $latex f$ podemos escribirla mediante una serie de potencias centrada en $latex z_0$ en $latex D(z_0,R)$. Diremos que $latex f$ es analítica en $latex U$ si lo es en cada punto de $latex U$.

Ejemplo: los polinomios y las series de potencias centradas en $latex z_0$ son funciones analíticas en $latex z_0$.

Definición (Prolongación analítica): Si $latex h: V longrightarrow mathbb{C}$ y $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ son dos funciones analíticas con $latex V subset U subset mathbb{C}$ abiertos de manera que $latex f(z) = h(z)$ si $latex z in V$, o sea, $latex f|_V = h$, diremos que $latex f$ es una prolongación analítica de $latex h$.

Teorema (Principio de prolongación analítica): Sea $latex U$ un abierto conexo del plano. Sea $latex V subset U$ un conjunto de puntos que tiene puntos de acumulación en $latex U$, o sea, $latex ac_U(V) neq emptyset$. Entonces, si $latex f$ es analítica en $latex U$ y la restricción de $latex f$ sobre $latex V$ es $latex f|_V$ = 0, entonces $latex f=0$ en $latex U$.

Corolario: Sean $latex f, g$ analíticas en un abierto conexo $latex U$ y sea $latex V subset U$ tal que $latex ac_U(V) neq emptyset$ y $latex f|_V = g|_V$. Entonces $latex f = g$ en $latex U$.

Con todo esto, resulta que las extensiones analíticas son únicas si el dominio de éstas es conexo, es decir, si $latex f: U longrightarrow mathbb{C}$ y $latex g: U longrightarrow mathbb{C}$ con $latex U subset mathbb{C}$ conexo son dos prolongaciones analíticas de $latex h: V longrightarrow mathbb{C}$, entonces $latex f = g$ en todos los puntos. Esto se debe a que $latex f-g: U longrightarrow mathbb{C}$ se anula en $latex V$ que es un conjunto no vacío de $latex U$, y una función analítica que se anula en un conjunto no vacío debe anularse en todo su dominio si este es conexo, por lo que debe ser $latex f-g equiv 0$.

Tags: , , ,

Reply

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *


¡IMPORTANTE! Responde a la pregunta: ¿Cuál es el valor de 2 6 ?