En el cáculo de este post, como $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X alpha$, y en este caso conocemos $latex alpha$, también podemos hacer:
$latex mathcal{L}_{[X,Y]}d alpha = dmathcal{L}_Z alpha = d big [ mathcal{L}_{(-4 frac{partial}{partial x} – 12y frac{partial}{partial z})} (2xy,dz – z , dx big ])$
Calculamos, en primer lugar, $latex mathcal{L}_Z alpha$:
$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) – mathcal{L}_Z (z , dx)$
Por una parte, tenemos:
$latex mathcal{L}_Z (2xy , dz) = (mathcal{L}_Z 2xy) , dz + 2xy , mathcal{L}_Z dz =$
$latex = (-4 frac{partial}{partial x} 2xy – 12y frac{partial}{partial z} 2xy ) , dz + 2xy , d(-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) =$
$latex = -24xy , dy – 8y , dz$
Y por otra:
$latex mathcal{L}_Z (z , dx) = mathcal{L}_Z z , dx + z , mathcal{L}_Z dx =$
$latex = (-4 frac{partial}{partial x} z – 12y frac{partial}{partial z} z) , dx + z , d(-4 frac{partial}{partial x} x – 12y frac{partial}{partial z} x) = $
$latex = -12y , dx$
Por lo tanto, tenemos:
$latex 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz$
Finalmente, solo queda calcular:
$latex d big [ 12y , dx -24xy ,dy – 8y , dz big ] = $
$latex = 12 , dy wedge dx – 24 , d(xy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $
$latex 12 , dy wedge dx – 24 , (y , dx + x , dy) wedge dy – 8 , dy wedge dz = $
$latex -12(2y + 1) , dx wedge dy – 8 , dy wedge dz$
ya que $latex -24x , dy wedge dy = 0$ por la propiedad de que $latex d^2 = 0$, obteniendo así el mismo resultado que anteriormente.