Fórmula integral de Cauchy para las derivadas (en circunferencias). Aplicaciones.

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sea $latex f(z) in mathcal{H}(A)$ y $latex overline{D(z_0,R)} subset A$. Entonces:

$latex f^{n)}(z) = frac{n!}{2 pi i} int_{C(z_0,R)} frac{u}{u-z}du, , forall z in D(z_0,R)$.

demostración:

Sabemos que $latex f(xi) = frac{1}{2 pi i} int_{C(z_0,R)} frac{f(u)}{u-xi}du$ siempre que $latex |xi – z_0|<R$.

Fijamos ahora $latex z in D(z_0,R)$ y escogemos $latex 0 < r < R: D(z,r) subset D(z_0,R)$. Tenemos un teorema que nos asegura que si $latex |xi – z| < r$ entonces:

$latex f(xi) = frac{1}{2 pi i} sum_{n=0}^infty (int_{C(z_0,R)} frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du) (xi – z)^n$,

por lo que:

$latex frac{f^{n)}(z)}{n!} = frac{1}{2 pi i} int_{C(z_0,R)} frac{u}{u-z}du$

Aplicaciones:

1. Calcular

$latex int_{C(0,frac{1}{2})} frac{e^z}{z(1-z)^2}dz$.

En este caso, la única singularidad que queda dentro de la circunferencia es el $latex 0$. Tenemos que aislarla, por lo que escribimos la integral de la siguiente forma:

$latex int_{C(0,frac{1}{2})} frac{frac{e^z}{(1-z)^2}}{z-0} dz = int_{C(0,frac{1}{2})} frac{f(z)}{(z-0)}$

con $latex f(z):=frac{e^z}{(1-z)^2}$. Ahora tenemos que $latex f(z)$ es holomorfa en todos los puntos excepto en el $latex 1$, que no está dentro de la circunferencia que consideramos en la integral i, por tanto, podemos aplicar el teorema integral de Cauchy para las derivadas y obtenemos

$latex int_{C(0,frac{1}{2})} frac{f(z)}{z} = 2 pi i f(0) = 2 pi i$

ya que $latex f(0) = frac{e^0}{(1-0)^2} = 1$.

2. Calcular

$latex int_{C(1,frac{1}{2})} frac{e^z}{z(1-z)^2}dz$.

Ahora, la singularidad que queda dentro de la circunferencia es el $latex 1$ y tenemos que aislarlo para poder aplicar el teorema integral para derivadas. Escribimos

$latex int_{C(1,frac{1}{2})} frac{frac{e^z}{z}}{(z-1)^2} = 2 pi i f'(1)$

aplicando el teorema. De esta manera, como $latex f'(z) = frac{ze^z – e^z}{z^2}$ y $latex f'(1)=0$, donde $latex f(z):=frac{e^z}{z}$, nos queda que la integral vale $latex 0$.

3. Calcular

$latex I:=int_{C(0,2)} frac{e^z}{z(1-z)^2}dz$.

Ahora las dos singularidades están dentro de la circunferencia considerada. Lo que haremos es decomponer $latex frac{1}{z(z-1)^2}$ en fracciones simples:

$latex frac{1}{z(z-1)^2} = frac{A}{z} + frac{B}{z-1} + frac{C}{(z-1)^2}$.

Esto nos lleva a un sistema cuya solución es $latex A=1=C, B=-1$, por lo que podemos escribir:

$latex I = int_{C(0,2)} frac{e^z}{z} dz – int_{C(0,2)} frac{e^z}{z-1} dz + int_{C(0,2)} frac{e^z}{(z-1)^2}$

de manera que podemos aplicar la fórmula integral de Cauchy para las derivadas, con $latex f(z):=e^z$ que es holomorfa en todo el plano, a cada integral:

$latex I = 2 pi i (f(0) – f(1) + f'(1)) = 2 pi i (1 – e + e) = 2 pi i$.

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