Demostración del teorema fundamental del álgebra

Uno de los grandes logros de la variable compleja es su efectividad a la hora de permitir demostrar resultados muy alejadas de su aparente alcance. Un claro ejemplo de esto es su aplicación a la demostración del teorema fundamental del algebra. A continuación presentamos una demostración del mismo junto con unos resultados previos que necesitaremos para la misma.

Desigualdad de Cauchy

Sea $latex f$ una función analítica, es decir, $latex f = sum_{n=0}^infty a_n(z-z_0)^n$ con $latex z in D(z_0,R)$. Sea $latex 0 < r < R$ y

$latex M(r) := max (|f(z)|:|z-z_0|=r)$.

Entonces

$latex |a_n| leq frac{M(r)}{r^n}$

demostración:

$latex a_n = frac{f^{n)}(z_0)}{n!}$

ya que $latex f'(z) = sum_{n=1}^infty n,a_n (z-z_0)^{n-1}$, por lo que $latex f'(z_0) = 1 cdot a_1$. De la misma manera, $latex f»(z) = sum_{n=2}^infty (n-1)n,a_n (z-z_0)^{n-2}$, por lo que $latex f»(z_0) = 2 cdot 1 cdot a_2$, etc.

Si aplicamos ahora la fórmula integral de Cauchy para las derivadas:

$latex f^{n)}(z) = frac{n!}{2 pi i} int_{C(z_0,R)} frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} du,, forall z in D(z_0,R)$

tenemos:

$latex a_n = frac{1}{2 pi i} int_{C(z_0,r)} frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz$

por lo que si aplicamos la propiedad de que $latex |int_gamma f(z) dz| leq L(gamma) , max { |f(z)| : z in gamma([a,b]) }$, nos queda:

$latex |a_n| leq big | frac{1}{2 pi i} big | (2 pi r) max_{|z-z_0|=r} big | frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} big |$.

Como $latex |frac{1}{2 pi i}| = frac{1}{2 pi}$ y

$latex max_{|z-z_0|=r} big | frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} big | = max_{|z-z_0|=r} frac{|f(z)|}{r^{n+1}}$

entonces:

$latex |a_n| leq frac{r}{r^{n+1}} max_{|z-z_0|=r} |f(z)| = frac{M(r)}{r^n} ,Box$

Teorema de Liouville

Sea $latex f in mathcal{H}(mathbb{C})$, $latex f$ no constante. Entonces $latex f$ no está acotada.

demostración:

Vamos a demostrar el reciproco, es decir, que si $latex fin mathcal{H}(mathbb{C})$ y $latex f$ está acotada, entonces $latex f$ es necesariamente constante.

Para empezar, como $latex f$ es holomorfa, entonces es analítica y

$latex f(z) = sum_{n=0}^infty a_n z^n, , forall z in mathbb{C}$.

Fijamos $latex 0 < r < +infty$. Si le aplicamos ahora la desigualdad de Cauchy, nos queda

$latex |a_n| leq frac{M(r)}{r^n}$.

que, como $latex f$ está acotada, es decir, $latex exists C > 0: |f(z)| leq C, , forall z in mathbb{C}$, que no depende de $latex r$, nos queda:

$latex |a_n| leq frac{C}{r^n}$.

Finalmente, si $latex n geq 1$ entonces $latex |a_n| leq lim_{r rightarrow infty} frac{C}{r^n} = 0$, por lo que $latex f(z) = a_0$ que implica que $latex f$ es constante $latex forall z in mathbb{C} , Box$

Lo que nos está diciendo el teorema de Liouville, por ejemplo, es que la función $latex sin(z)$ no está acotada (a diferencia de lo que ocurre en variable real), pues solo lo estan las funciones constantes.

Teorema fundamental del Álgebra

Sea $latex p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ldots + a_n z^n$ un polinomio no constante. Entonces la ecuación $latex p(z)=0$ tiene solución.

demostración:

Vamos a proceder por reducción al absurdo. Supondremos que $latex p(z) neq 0, , forall z in mathbb{C}$ y consideraremos la función $latex f(z) = frac{1}{p(z)}$. Es fácil ver que $latex f(z) in mathcal{H}(mathbb{C})$ y que no es constante.

Veremos que $latex f(z)$ está acotada, lo que supondra una contradicción con Liouville. Efectivamente, para $latex p(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ldots + a_n z^n$, como $latex n geq 1$ y $latex a_n neq 0$, tiene sentido escribir $latex p(z)$ como:

$latex p(z) = z^n (a_n + frac{a_{n-1}}{z} + ldots + frac{a_0}{z^n})$

con lo que, si tomamos valores absolutos y utilizando que $latex |a+b| geq |a|-|b|$, nos queda:

$latex |p(z)| geq |z|^n (|a_n| – frac{|a_{n-1}|}{|z|} – ldots – frac{|a_0|}{|z|^n})$

$latex ,Box$

Proposición:

Sea $latex p(z)$ un polinomio de grado $latex n geq 1$. Entonces:

$latex p(z) = a(z-z_1)^{k_1}(z-z_2)^{k_2}ldots (z-z_m)^{k_m}$ con $latex sum_{i=1}^m k_i = n$.

demostración: (por inducción sobre $latex n$)

a) Si $latex n=1$ entonces $latex p(z)=az+b$ con $latex a neq 0$. Sea $latex z_1$ tal que $latex p(z_1) =0$. Entonces:

$latex p(z) = az -az_1 + az_1 + b = a(z-z_1)$, pues $latex az_1 + b = 0$.

b) Suponemos que para grado $latex leq n$ es cierto y sea $latex p(z)$ un polinomio de grado $latex n+1$.

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