Mecánica cuántica y análisis funcional.

Para formular matemáticamente la mecánica cuántica necesitamos hablar de espacios de Hilbert y de operadores lineales. La rama de las matemáticas que trata estos temas es el análisis funcional.

Procederemos a dar cada una de las definiciones en el momento que las necesitemos, de manera que, como lo que nos interesan son los espacios de Hilbert y los operadores lineales, definiremos estos en primer lugar. Sin embargo, como estas definiciones se basan en otras definiciones, que por abstracción adquieren identidad propia, iremos introduciendo las mismas a medida que nos vayan apareciendo.

Espacios de Hilbert

Definición (Espacio de Hilbert): Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo.

A esto nos referiamos, pués de momento, nos hemos quedado tal y como estabamos, pues no sabemos que significa ser prehilbertiano y tampoco completo. Estos nuevos conceptos aparecen porque al estudiar los espacios de Hilbert y abstraer ciertas partes, estas adquieren interes per se.

Definición (Espacio prehilbertiano): Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial $latex H$ sobre un cuerpo $latex mathbb{K} = mathbb{R}, mathbb{C}$ en el que tenemos definido un producto escalar.

Definición (Producto escalar): Un producte escalar en un $latex mathbb{K}$-espacio vectorial $latex H$ es una aplicación:

$latex langle cdot , cdot rangle: H times H longrightarrow mathbb{K}$

tal que es:

1. lineal en la primera componente: $latex langle x + y , z rangle = langle x, z rangle + langle y, z rangle$ y $$
2. simétrica en $latex mathbb{R}$,  $latex langle x,y rangle = langle y,x rangle$, o hermítica en $latex mathbb{C}$, $latex langle x,y rangle = overline{ langle y,x rangle}$.
3. definida positiva: $latex langle x,x rangle geq 0$ y $latex langle x,x rangle = 0 Leftrightarrow x=0$

Ejemplos

• $latex (mathbb{R}^n,langle cdot, cdot rangle)$ con $latex langle x,y rangle = sum_{i=1}^n x_i y_i$ es un espacio prehilbertiano.
• $latex (mathbb{C}^n, langle cdot,cdot rangle)$ con $latex langle z,w rangle = sum_{i=1}^n z_i overline{w_i}$ es un espacio prehilbertiano.
• Sea $latex A$ un conjunto igual a $latex { 1, ldots , n}, mathbb{N}, mathbb{Z}$. El espacio $latex ell^2(A)$ es un espacio prehilbertiano con el producto escalar $latex langle x,y rangle := sum_{alpha in A} x_alpha overline{y_alpha}$ con $latex x = { x_alpha }_{alpha in A}$ y $latex y = { y_alpha }_{alpha in A}$. En el caso que $latex A = mathbb{N}$ o $latex mathbb{Z}$ escribiremos $latex ell^2(A) = ell^2$. Si $latex A = {1,ldots,n}$ entonces $latex ell^2(A) equiv mathbb{K}^n$ que tambien se denota por $latex ell^2(n)$.

Vamos a demostrar este último ejemplo. Probaremos, en primer lugar, que $latex ell^2$ es un espacio vectorial, y posteriormente, que $latex langle cdot,cdot rangle$ es un producto interior.

Definición (Notación de Dirac): Una notación alternativa para el producto escalar introducida por Dirac y ampliamente utilizada en mecánica cuántica por su versatilidad es la notación bra-ket. Podemos escribir el producto escalara en notación matricial:

$latex langle cdot | cdot rangle : $

Espacios de Banach

Para empezar, recordaremos que un espacio normado es un par $latex (E,|| cdot ||_E)$ formado por un espacio vectorial $latex E$ sobre un cuerpo $latex K$, que puede ser $latex mathbb{R}$ o $latex mathbb{C}$, y una norma $latex ||cdot||_E$ sobre $latex E$, que es una función:

$latex ||cdot||_E : E longrightarrow [0,+infty[$

que satisface las propiedades de:

1. separación: $latex ||x||_E = 0 Leftrightarrow x = 0$.
2. homogeneidad: $latex ||lambda x|| = |lambda|||x||_E$.
3. desigualdad triangular: