En palabra de Terry Tao:
En la física, el espacio de fases es un concepto que unifica la mecánica clásica (Hamiltoniana) con la mecánica cuántica; en matemáticas, el espacio de fases es un concepto que unifica la geometría simpléctica con el análisis armónico y las PDE.
En mecánica clásica, el espacio de fases es el espacio de todas las posibles configuraciones de un sistema: no solo las posiciones $latex q$ de todos los objetos del sistema, sino también sus momentos $latex p$. Matemáticamente, el espacio de configuraciones puede definirse como una variedad $latex M$ de manera que, para cada posicion $latex q in M$, los momentos $latex p$ toman valores en el espacio cotangente $latex T_q^*M$. De esta manera, el espacio de fases puede verse de manera natural como el fibrado cotangente:
$latex T^*M:=bigsqcup_{q in M} T_q^*M$,
y, como ya vimos en ese mismo post, si $latex dim M = n$ entonces $latex dim T^*M = dim TM = 2n$, es decir, que el espacio de fases siempre va a tener dimensión par.