Condiciones de contorno tipo Neumann

En el post anterior hablamos sobre condiciones de frontera y su transferencia entre mallas pero no comentamos en el caso de que las condición haga referencia al valor de la derivada y no al de la función: condición de Neumann.

En $latex 1D$ supongamos que ahora tenemos $latex frac{partial^2}{partial x^2}u = f$ en $latex [a,b]$ con $latex u(a)=u_a$ pero $latex frac{partial}{partial x} = du_b$. Suponiendo de nuevo $latex n=8$, las ecuaciones nos quedan:

$latex frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1$ para $latex i=1$,

$latex frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2$ para $latex i=2$,

$latex frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3$ para $latex i=3$,

$latex frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4$ para $latex i=4$,

$latex frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5$ para $latex i=5$,

$latex frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6$ para $latex i=6$,

$latex frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7$ para $latex i=7$,

La única diferencia con respecto al caso anterior es que, en la primera ecuación, desconocemos el valor de $latex u_0$ pero  conocemos el de su primera derivada. Sabemos que:

$latex frac{u_1 – u_{-1}}{2h} = frac{d}{dx}u_{0} = du_0$,

que, despejando, nos da:

$latex u_1 – u_{-1} = 2h , du_0 Leftrightarrow u_{-1} = u_1 – 2h , du_0$,

Como tenemos una incognita mas por determinar, añadimos una nueva ecuación:

$latex frac{u_{-1} -2u_0 + u_1}{h^2} = f_0$ para $latex i=0$,

donde reescribimos el valor de $latex u_{-1}$ según acabamos de determinar:

$latex frac{ u_1 – 2h , du_0 -2u_0 + u_1}{h^2} = frac{ -2u_0 + 2u_1 – 2h , du_0}{h^2} = f_0$.

Por lo tanto,  en forma matricial tenemos:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 end{bmatrix} begin{bmatrix} u_0 \ u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ u_5 \ u_6 \u_7 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{1}{2} (f_0 + frac{2h , du_0}{h^2}) \ f_1 \ f_2 \ f_3 \f_4 \ f_5 \ f_6 \ f_7 – frac{u_8}{h^2}end{bmatrix}$.

De la misma manera, en el caso por el otro extremo, llegariamos a:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &0 \ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 end{bmatrix} begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ u_5 \ u_6 \ u_7 \u_8 end{bmatrix} = begin{bmatrix} f_1 – frac{u_0}{h^2} \ f_2 \ f_3 \ f_4 \f_5 \ f_6 \ f_7 \ frac{1}{2}(f_8 + frac{2h , du_8}{h^2})end{bmatrix}$.

En resumen, básicamente hay que hacer dos trabajos: en primer lugar, construir el termino independiente de manera apropiada para incorporar la información de las fronteras; en segundo, llegados a los extremos, escoger entre $latex -2$ y $latex -1$ en la diagonal en función de si es Dirichlet o Neumann.

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