Ejemplo sencillo de frontera Neumann en 2D

Suponemos $latex n=5$. En el caso de tener todas las fronteras con condiciones Dirichlet:

$latex frac{u_{0,1} -2u_{1,1} + u_{2,1}}{h^2} + frac{u_{1,0} -2u_{1,1} + u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}$ para $latex i,j=1,1$,

$latex frac{u_{0,2} -2u_{1,2} + u_{2,2}}{h^2} + frac{u_{1,1} -2u_{1,2} + u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}$ para $latex i,j=1,2$,

$latex frac{u_{0,3} -2u_{1,3} + u_{2,3}}{h^2} + frac{u_{1,2} -2u_{1,3} + u_{1,4}}{h^2} = f_{1,3}$ para $latex i,j=1,3$,

$latex frac{u_{1,1} -2u_{2,1} + u_{3,1}}{h^2} + frac{u_{2,0} -2u_{2,1} + u_{2,2}}{h^2} = f_{2,1}$ para $latex i,j=2,1$,

$latex frac{u_{1,2} -2u_{2,2} + u_{3,2}}{h^2} + frac{u_{2,1} -2u_{2,2} + u_{2,3}}{h^2} = f_{2,2}$ para $latex i,j=2,2$,

$latex frac{u_{1,3} -2u_{2,3} + u_{3,3}}{h^2} + frac{u_{2,2} -2u_{2,3} + u_{2,4}}{h^2} = f_{2,3}$ para $latex i,j=2,3$,

$latex frac{u_{2,1} -2u_{3,1} + u_{4,1}}{h^2} + frac{u_{3,0} -2u_{3,1} + u_{3,2}}{h^2} = f_{3,1}$ para $latex i,j=3,1$,

$latex frac{u_{2,2} -2u_{3,2} + u_{4,2}}{h^2} + frac{u_{3,1} -2u_{3,2} + u_{3,3}}{h^2} = f_{3,2}$ para $latex i,j=3,2$,

$latex frac{u_{2,3} -2u_{3,3} + u_{4,3}}{h^2} + frac{u_{3,2} -2u_{3,3} + u_{3,4}}{h^2} = f_{3,3}$ para $latex i,j=3,3$,

de donde:

$latex begin{bmatrix} f_{1,1} -frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2} – frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3} – frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

En forma de matriz por bloques (para pensar en la simetrización):

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 end{bmatrix} u_{i,j} = begin{bmatrix} f_{1,1} -frac{u_{1,0} + u_{0,1}}{h^2} \ f_{1,2} – frac{u_{0,2}}{h^2} \ f_{1,3} – frac{u_{0,3}+u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} \ f_{2,2} \ f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} \ f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} \ f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

¿Qué pasa ahora si en lugar de conocer $latex u_{0,1}, u_{0,2}, u_{0,3}$ conocemos $latex frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u, frac{partial}{partial x}u|_{0,3}$? Necesitamos tres ecuaciones mas:

$latex frac{u_{-1,1} -2u_{0,1} + u_{1,1}}{h^2} + frac{u_{0,0} -2u_{0,1} + u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}$ para $latex i,j=0,1$

$latex frac{u_{-1,2} -2u_{0,2} + u_{1,2}}{h^2} + frac{u_{0,1} -2u_{0,2} + u_{0,3}}{h^2} = f_{0,2}$ para $latex i,j=0,2$

$latex frac{u_{-1,3} -2u_{0,3} + u_{1,3}}{h^2} + frac{u_{0,2} -2u_{0,3} + u_{0,4}}{h^2} = f_{0,3}$ para $latex i,j=0,3$

y

$latex frac{u_{1,1}-u_{-1,1}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,1}u Leftrightarrow u_{-1,1} = u_{1,1} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u$

$latex frac{u_{1,2}-u_{-1,2}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,2}u Leftrightarrow u_{-1,2} = u_{1,2} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$

$latex frac{u_{1,3}-u_{-1,3}}{2h} = frac{partial}{partial x}|_{0,3}u Leftrightarrow u_{-1,3} = u_{1,3} – 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u$

por lo que:

$latex begin{bmatrix} f_{0,1} +frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u – u_{0,0}}{h^2} & f_{0,2} + frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u}{h^2} & f_{0,3} + frac{ 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u – u_{0,4}}{h^2} \ f_{1,1} -frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} – frac{u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

La matriz queda:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & ldots \ 1 & -4 & 1 & 0 & 2 & 0 & ldots \ 0 & 1 & -4 & 0 & 0 & 2 & ldots \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & ldots \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & ldots \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & ldots \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end{bmatrix} $

Que podemos simetrizar:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 0 & ldots \ frac{1}{2} & -2 & frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & ldots \ 0 & frac{1}{2} & -2 & 0 & 0 & 1 & ldots \ 1 & 0 & 0 & -4 & 1 & 0 & ldots \ 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & ldots \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & ldots \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end{bmatrix} $

con:

$latex begin{bmatrix} frac{1}{2}(f_{0,1} +frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,1}u – u_{0,0}}{h^2}) & frac{1}{2}(f_{0,2} + frac{2h , frac{partial}{partial x}|_{0,2}u}{h^2}) & frac{1}{2}(f_{0,3} + frac{ 2h , frac{partial}{partial x}|_{0,3}u – u_{0,4}}{h^2}) \ f_{1,1} -frac{u_{1,0}}{h^2} & f_{1,2} & f_{1,3} – frac{u_{1,4}}{h^2} \ f_{2,1} -frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} – frac{u_{2,4}}{h^2} \ f_{3,1} – frac{u_{3,0}+u_{4,1}}{h^2} & f_{3,2} – frac{u_{4,2}}{h^2} & f_{3,3} – frac{u_{4,3}+u_{3,4}}{h^2} end{bmatrix}$

Si las condiciones las tenemos sobre la derivada en el extremo opuesto llegaremos a la misma estructura pero en la parte inferior de la frontera y de la matriz.

Si las condiciones las tenemos sobre derivadas en la otra dirección, podemos llegar también a estas estructuras tomando el orden de variables donde tiene prioridad la variable contraria a la tomada en los casos anteriores.

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