Operador Laplaciano n-dimensional. Discretización y fronteras mediante tensores.

En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como:

$latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$

en coordenadas cartesianas, y como:

$latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$

en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex S^{n-1}$), el operador Laplaciano esférico.

Un punto es un tensor sin índices, un vector es un tensor con $latex 1$ índice, una matriz es un tensor con $latex 2$ índices, etc. Cuando discreticemos una PDE en $latex n$ dimensiones, llegaremos a un tensor con $latex n$ índices y $latex 2n$ tensores con $latex n-1$ índices para las condiciones en las fronteras.

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