Reescritura de la reformulación del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

CoCoNuT es un código que permite realizar simulaciones de colapso estelar. Reescribimos las ecuaciones CFC, que son un caso particular de la aproximación FCF haciendo que las $latex h^{ij}$ sean cero, en terminos de las variables que éste utiliza. Empezamos con una auxilar:

 $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$

donde:

$latex S_j^* := sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S_j$,

$latex S_j := rho h w^2 v_j$.

La primera es:

$latex Delta psi = -2 pi psi^{-1} E^* – psi^{-7} frac{f_{il}f_{jm}hat{A}^{lm}hat{A}^{ij}}{8}$

donde:

$latex E^*:= sqrt{ frac{gamma}{f} } E = psi^6 E$,

$latex E:= D + tau$

La siguiente:

$latex Delta (psi alpha) = 2 pi alpha (E^* + 2S^*) + alpha psi^{-7} frac{7 f_{il} f{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij}}{8}$

con:

$latex S^*:= sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S$,

$latex S:= rho h (w^2-1) + 3 p$

Y la última:

$latex Delta beta^i = mathcal{D}_j (2 alpha psi^{-6} hat{A}^{ij}) – frac{1}{3} mathcal{D}^i (mathcal{D}_j beta^j)$.

Además, en CFC, tenemos:

$latex hat{A}^{ij} = (LX)^{ij} + hat{A}^{ij}_{TT} approx (LX)^{ij} = mathcal{D}^i X^j + mathcal{D}^j X^i – frac{2}{3} mathcal{D}_k X^k f^{ij}$

donde $latex L$ es el operador de Killing conforme actuando sobre la parte longitudinal $latex X^i$ sin traza y $latex A^{ij}_{TT}$ es la parte transversal sin traza de la curvatura extrínseca , y de FCF tenemos:

  • la métrica inducida en cada hipersuperficie $latex gamma_{mu nu} := g_{mu nu} + n_{mu} n_{nu}$ (o $latex boldsymbol{gamma} := boldsymbol{g} + boldsymbol{n} otimes boldsymbol{n}$ ) con $latex boldsymbol{n} = frac{dt}{|dt|}$.
  • la curvatura extrínseca $latex boldsymbol{K:=-frac{1}{2}mathcal{L}_{boldsymbol{n}} boldsymbol{gamma}}$ (o, con índices, $latex K_{mu nu} = -frac{1}{2} mathcal{L}_{boldsymbol{n}} gamma_{mu nu}$).

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