Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas.

Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que nos permite definir $latex D_X Y$) no tiene porque estar en el espacio tangente de una variedad arbitraria, necesitamos aprender a derivar campos vectoriales en éstas.

Si la variedad está contenida en un espacio ambiente, siempre podemos quedarnos con la parte tangente de las derivadas direccionales, es decir, siempre podemos proyectar ($latex D_X^T Y$), pero ¿qué pasa cuando no tenemos la variedad embebida en un espacio ambiente? o, equivalentemente, ¿qué pasa cuando queremos trabajar de manera intrínseca? Necesitamos introducir el concepto de conexión.

Una conexión nos permitirá derivar campos vectoriales sobre variedades abstractas y definir así la aceleración de una curva como la variación del campo velocidad a lo largo de ésta. Se puede definir una conexión sobre una variedad $latex M$ como una aplicación:

$latex nabla: mathcal{X}(M) times mathcal{X}(M) longrightarrow mathcal{X}(M)$

cumpliendo:

  1. $latex nabla$ es $latex mathcal{C}^infty (M)$-lineal en la primera variable.
  2. $latex nabla$ es $latex mathbb{R}$-lineal en la segunda variable.
  3. $latex nabla_X (fY) = X(f) Y + f nabla_X Y$ para toda función $latex f$.

Llamamos al nuevo campo vectorial $latex nabla_X Y$ derivada covariante de $latex Y$ con respecto a $latex X$ y $latex nabla_{X_p} Y$ es la derivada direccional de $latex Y$ en la dirección $latex X_p$ sobre la variedad abstracta.

Esta definición es poco operativa. Si expresamos los campos en una carta $latex (U,phi)$, entonces $latex nabla_X Y$ queda totalmente determinado por los símbolos de conexión $latex Gamma_{ij}^k$ determinados mediante:

$latex nabla_{frac{partial}{partial phi^i}} frac{partial}{partial phi^j} = sum_k Gamma_{ij}^k frac{partial}{partial phi^k}$

en las coordenadas de la carta.

Una consideración importante es que las conexiones existen sin la necesidad de las métricas, es decir, que podemos hacer referencia a transporte paralelo y a geodésicas en una variedad sin necesidad de tener definida una métrica sobre ésta. Sin embargo, un resultado sorprendente, fundamental, nos garantiza la construcción de una conexión única coherente con la métrica: la conexión de Levi-Civita.

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