Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (I): primera y segunda forma fundamental, normal y curvatura intrínseca.

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a:

  • el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$,
  • el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$,
  • la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$.

En particular, cuando la dimensión sea $latex n=2$, tenemos las superfícies $latex mathbb{H}^2(k)$, trabajaremos con la pseudoesfera, el plano $latex mathbb{R}^2$ y la esfera $latex S^2(k)$.

En este caso, existe una forma sencilla de calcular la primera forma fundamental $latex I equiv ds^2$, la métrica inducida por la métrica Euclidea del espacio ambiente $latex mathbb{R}^3$ en el que las superficies pueden ser embebidas, a partir de su parametrización (Una parametrización $latex f$ es un embedding y si $latex h$ es la métrica del espacio ambiente entonces tenemos la métrica $latex f^*h$ en la variedad):

$latex S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$,

$latex I(u,v) = E(u,v) du otimes du + F(u,v) du otimes dv + $

$latex + F(u,v) dv otimes du + G(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex ds^2 = g_{00} du^2 + g_{01} du dv + g_{10} dv du + g_{11} dv^2$

donde

$latex g_{00}=frac{partial}{partial u}S(u,v) cdot frac{partial}{partial u}S(u,v) = partial_u S cdot partial_u S$

$latex g_{01}=g_{10} = partial_u S cdot partial_v S$

$latex g_{11} = partial_v S cdot partial_v S$.

Si en lugar de $latex u$ y $latex v$ trabajamos con $latex u_1$ y $latex u_2$ entonces podemos escribir

$latex ds^2 = sum_{i=0}^1 g_{ij}du^i du^j = g_{ij}du^i du^j$,

donde al final aplicamos el $latex C sum E$ con $latex i=1,2$ y $latex j=1,2$.

También son sencillas de calcular el vector normal $latex boldsymbol{n}$, la segunda forma fundamental $latex II$ y la curvatura de Gauss o intrínseca $latex k$:

$latex boldsymbol{n} = frac{partial_u S times partial_v S}{|| partial_u S times partial_v S||}$,

$latex II(u,v) = L(u,v) du otimes du + M(u,v) du otimes dv + $

$latex + M(u,v) dv otimes du + N(u,v) dv otimes dv$

o, lo que es lo mismo,

$latex amalg = b_{00} du^2 + b_{01} du dv + b_{10} dv du + b_{11} dv^2$ o $latex amalg = b_{ij}du^i du^j$

donde

$latex b_{00}=partial_{uu} cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{01}=b_{10} = partial_{uv} S cdot boldsymbol{n}$

$latex b_{11} = partial_{vv} S cdot boldsymbol{n}$,

$latex k = frac{LN-M^2}{EG-F^2} = frac{b_{11}b_{22}-b_{12}^2}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}$

Calculamos a continuación todos estos valores en las superficies que nos interesan.

Plano $latex mathbb{R}^2$

Utilizamos la parametrización $latex S(u,v)=(u,v,0)$ con $latex u in mathbb{R}$ y $latex v in mathbb{R}$ (desde el punto de vista de las variedades, tenemos un atlas  con una única carta que es la identidad. Recordar que las cartas van en sentido contrario)

plaR2

$latex g_{00} = partial_u S cdot partial_u S = (1,0,0) cdot (1,0,0) = 1$

$latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=1$

$latex boldsymbol{n} = (0,0,1)$

$latex partial_{uu} S = partial_{uv} S = partial_{vv} S = 0$ y, por tanto, $latex b_{ij}=0$

$latex k = frac{0.0 – 0^2}{1.1 – 0^2} = 0$.

Esfera $latex S^2(k)$

Parametrizamos según indica la figura:

esfera

$latex g_{00} = a^2$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi ,cos theta)$

$latex b_{00} = -a$, $latex b_{01} = b_{10} = 0$, $latex b_{11}=-a sin^2 theta$

y, por tanto, $latex k = frac{-a.-a sin^2 theta – 0^2}{a^2.a^2 sin^2 theta – 0^2} = frac{1}{a^2}$.

Pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(k)$

pseudoesfera

$latex g_{00} = a^2 cot^2 theta$, $latex g_{01} = g_{10} = 0$, $latex g_{11}=a^2 sin^2 theta $

$latex boldsymbol{n} = (-|cos theta| cos varphi, – |cos theta| sin varphi, sgn(cos theta) sin theta)$

$latex k = -frac{1}{a^2}$.

Para terminar, ¿que tiene de curioso la siguiente aparente parametrización como superficie de revolución de $latex mathbb{R}^2$ para que nos de $latex g_{11} = theta^2$?

plano

Hasta aquí calculamos de manera clásica.

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