Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular.
El tensor de curvatura de Riemann:
$latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,
el tensor de Ricci:
$latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{c}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$,
la curvatura escalar:
$latex R = R^{a}_{a}$
y el tensor de Weyl:
$latex C_{abcd} = R_{abcd} – $
$latex – frac{1}{2}(g_{ac}R_{bd}-g_{ad}R_{bc}-g_{bc}R_{ad}+g_{bd}R_{ac}) + frac{1}{6}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc}) R$
Empezamos con la esfera $latex S^2(frac{1}{r^2})$. Recordamos los símbolos de Christoffel que encontramos:
$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = 0, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin theta cos theta$,
$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$
(Escribir ahora las ecuaciones de las geodésicas es inmediato: una equacion por variable contravariante donde aparece la segunda derivada de esta y un termino para cada símbolo no nulo de la fila con la primera derivada de las variables covariantes:
$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$
que coincide con lo que calculamos en este post de otra manera sin necesidad de los símbolos de Christoffel).
Tenemos cuatro índices y cada uno puede tomar dos valores, pues estamos trabajando con superificies, variedades de dos dimensiones, por lo que tenemos un tensor de con 16 componentes (en el caso de estar trabajando con una variedad de cuatro dimensiones como es espacio-tiempo, el tensor de Riemann tiene 256 componentes..). Aunque existe una serie de propiedades que minimizan el número de componentes de $latex n^4$ a $latex frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ (simetrías, antisimetrías e identidades de Bianchi) vamos a calcularlos todos aquí para practicar.
$latex R^{theta}_{ theta theta theta} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$
$latex R^{theta}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0$
$latex R^{theta}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$
$latex R^{theta}_{ theta varphi varphi} = partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 0$
$latex R^{theta}_{ varphi theta theta} = 0$
$latex R^{theta}_{ varphi theta varphi} = $
$latex = partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} -partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} = sin^2 theta$
$latex R^{theta}_{ varphi varphi theta} = $
$latex = partial_varphi Gamma^{theta}_{varphi theta} -partial_theta Gamma^{theta}_{varphi varphi} + Gamma^{theta}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{varphi theta} + Gamma^{theta}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{varphi theta} – Gamma^{theta}_{theta theta} Gamma^{theta}_{varphi varphi} – Gamma^{theta}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = -sin^2 theta$
$latex R^{theta}_{varphi varphi varphi} = 0$
$latex R^{varphi}_{ theta theta theta} = 0$
$latex R^{varphi}_{ theta theta varphi} = partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} -partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} = -1$
$latex R^{varphi}_{ theta varphi theta} = partial_varphi Gamma^{varphi}_{theta theta} -partial_theta Gamma^{varphi}_{theta varphi} + Gamma^{varphi}_{theta varphi} Gamma^{theta}_{theta theta} + Gamma^{varphi}_{varphi varphi} Gamma^{varphi}_{theta theta} – Gamma^{varphi}_{theta theta} Gamma^{theta}_{theta varphi} – Gamma^{varphi}_{varphi theta} Gamma^{varphi}_{theta varphi} = 1$
$latex R^{varphi}_{ theta varphi varphi} = 0$
$latex R^{varphi}_{ varphi theta theta} = 0$
$latex R^{varphi}_{ varphi theta varphi} = 0$
$latex R^{varphi}_{ varphi varphi theta} = 0$
$latex R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = 0$
Continuamos con el tensor de Ricci. Podemos calcularlo a partir de la formula o a partir del tensor de Riemann, que ya lo tenemos. Lo haremos de esta última manera:
$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = 1$
$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$
$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$
$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = sin^2 theta$.
Finalmente, calculamos la curvatura escalar:
$latex g^{cb}R_{ab} = R^c_a$,
$latex R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = frac{1}{r^2}1+frac{1}{r^2 sin^2 theta} sin^2 = frac{2}{r^2}$,
que es, tal y como esperabamos, la mitad de la curvatura de Gauss ($latex R = 2K$).
Seguimos ahora con la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{r^2})$. Los símbolos de Christoffel eran:
$latex Gamma^{theta}_{theta theta} = -csc theta sec theta, Gamma^{theta}_{theta varphi} = Gamma^{theta}_{varphi theta} = 0, Gamma^{theta}_{varphi varphi} = -sin^2 theta tan theta$,
$latex Gamma^{varphi}_{theta theta} = 0, Gamma^{varphi}_{theta varphi} = Gamma^{varphi}_{varphi theta} = cot theta, Gamma^{varphi}_{varphi varphi} = 0$
(Aprovechamos otra vez, conocidos los símbolos de Christoffel, para escribir las ecuaciones de las geodésicas:
$latex begin{cases} ddot{theta} – dot{theta}^2 csc theta sec theta – dot{varphi}^2 sin^2 theta tan theta = 0 \ ddot{varphi} + 2 dot{theta} dot{varphi} cot theta = 0 end{cases}$
que debería coincidir con la de aquí).
Como es bastante laborioso, aquí otro programita, esta vez para el tensor de Riemann:
y los resultados:
por tanto, Ricci es:
$latex R_{theta theta} = R^{a}_{theta a theta} = R^{theta}_{theta theta theta} + R^{varphi}_{theta varphi theta} = – cot^2 theta$
$latex R_{theta varphi} = R^{a}_{theta a varphi} = R^{theta}_{theta theta varphi} + R^{varphi}_{theta varphi varphi} = 0$
$latex R_{varphi theta} = R^{a}_{varphi a theta} = R^{theta}_{varphi theta theta} + R^{varphi}_{varphi varphi theta} = 0$
$latex R_{varphi varphi} = R^{a}_{varphi a varphi} = R^{theta}_{varphi theta varphi} + R^{varphi}_{varphi varphi varphi} = -sin^2 theta$.
y la curvatura escalar:
$latex R=R^a_a = g^{theta theta}R_{theta theta} + g^{theta varphi}R_{theta varphi} + g^{varphi theta}R_{varphi theta} + g^{varphi varphi}R_{varphi varphi} = $
$latex = frac{1}{r^2 cot^2 theta}(-cot^2 theta)+frac{1}{r^2 sin^2 theta} (-sin^2) = -frac{2}{r^2}$,
que vuelve a ser $latex R = 2K$. Aquí es resultado con dos nuevas funciones programadas para el tensor de Ricci y la curvatura escalar:
Por último, para $latex mathbb{R}^2$ todo es $latex 0$.
Finalmente una gráfica de todas las curvaturas escalares que hemos encontrado:
Los colores son los mismos que los de las superficie correspondiente de este post y añadiendo en rojo la curvatura escalar del toro. Recordar que, en superficies, la curvatura escalar es el doble de la curvatura Gauss o curvatura intrínseca y esta, a su vez, es el producto de las dos curvaturas principales.