Lagrangianos, Hamiltonianos y geodésicas en variedades

Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano

$latex mathcal{L} = mathcal{L}(q^1, ldots, q^n, dot{q}^1, ldots, dot{q}^n )$

como una función, de posiciones generalizadas $latex q^i$ que etiquetan los puntos del espacio de configuración $latex mathcal{C}$, una variedad diferenciable de dimensión $latex n$, y velocidades generalizadas $latex dot{q}^i:=frac{d}{dt}q^i$, cuya interpretación física es la diferencia entre energía cinética $latex K$ del sistema y la energía potencial $latex V$ debido a fuerzas externas, es decir, $latex mathcal{L} = K-V$, las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan como:

$latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{q}^r}mathcal{L} = frac{partial}{partial q^r} mathcal{L}$ con $latex r=1 ldots n$,

recordando que cada $latex dot{q}^r$ debe tratarse como una variable independiente.

Esto, aquí mi sorpresa, es idéntico a lo que utilizamos en este post

$latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $

para calcular las geodésicas de una variedad Riemanniana sin necesidad de pasar por el cálculo de los símbolos de Christoffel a partir de su métrica, por ejemplo, para encontrar su conexión…

Así pues, la conclusión es que, como cada punto $latex alpha$ de la variedad $latex n$-dimensional $latex mathcal{C}$ representa una configuración del sistema y, a medida que evoluciona en el tiempo, describe una curva $latex alpha(t) in mathcal{C}$, esta trayectoria puede considerarse como una geodésica en el espacio de fases $latex mathcal{C}$.

Para terminar, pone un sencillo ejemplo donde el sistema consta de una única partícula de masa $latex m$ que se mueve en el campo gravitatorio cerca de la superficie terrestre $latex V(t,x,y,z)=mgz$. Utilizando $latex frac{1}{2}mv^2$ para la energía cinética, nos queda que el Lagrangiano es:

$latex mathcal{L} = frac{1}{2}m(dot{x}^2+dot{y}^2+dot{z}^2)-mgz$,

por lo que la ecuación de Euler-Lagrange para $latex z$ nos queda:

$latex mfrac{d}{dt}dot{z} = mg Leftrightarrow ddot{z} = g$,

que es lo que esperabamos :-).

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