Los grupos ortogonales y unitarios como grupos de Lie.

En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, $latex mathbb{K}^n$ es una variedad de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$ con el atlas $latex mathcal{A}$ formado por la única carta $latex mathcal{A} = { id: mathbb{K}^n rightarrow mathbb{K}^n }$, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea $latex (M,mathcal{A})$ una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^k$. Si $latex mathcal{A} = { Phi_alpha: U_alpha rightarrow mathbb{K}^n }_{alpha in I}$ y $latex f: M rightarrow N$ una aplicación biyectiva, entonces $latex (N,mathcal{A}_f)$ es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

$latex mathcal{A}_f = { (Phi_alpha circ f^{-1}): f(U_alpha) rightarrow mathbb{K}^n }_{alpha in I}$.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando $latex V$ es un espacio vectorial de dimensión $latex n$ y base $latex { u_1, ldots, u_n}$, dado que existe un único isomorfismo lineal $latex f: mathbb{K}^n rightarrow V$ determinado por $latex f(e_i) = u_i$, donde $latex { e_1, ldots, e_n}$ es la base canónica de $latex mathbb{K}^n$.

En resumen, sea $latex M = End_{mathbb{K}^n}(mathbb{K}^n)$ el conjunto de endomorfismos de $latex mathbb{K}^n$ en $latex mathbb{K}^n$, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de $latex M$. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

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