Dado el campo vectorial invariante por la izquierda
$latex u(a) = (L_a)_* u$ del grupo de Lie $latex G$,
llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE:
$latex frac{d}{dt}a = u(a)$,
y que, fijada una condición inicial $latex a(0) = a$, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial:
$latex a(t) = exp (tu) a$ con $latex exp(tu) = I + tu + frac{t^2}{2}u^2 + ldots$,
donde $latex u^r(a) = u(a) circ u^{r-1}(a)$.
Las trayectorias:
- son analíticas y esta definidas para todo valor de $latex t$ por el carácter anaítico y completo de los campos invariantes.
- que pasan por la unidad del grupo de Lie, $latex a(0) = e$, son grupos uniparamétricos de G, ya que cumplen la propiedad $latex a(s+t)=a(s)a(t)$. En este caso:
$latex exp: mathfrak{g} longrightarrow G , / , u mapsto exp u = a(1)$.
En el caso de $latex GL(n,mathbb{K})$, hemos visto que los campos invariantes a la izquierda tienen la forma:
$latex U(A) = AU$ con $latex A in GL(n,mathbb{K})$ y $latex U in M(n,mathbb{K})$.
El subgrupo uniparamétrico $latex A(t)$ es la solución a:
$latex frac{d}{dt}A = AU$ con $latex A(0)=I$,
y que es:
$latex A(t) = exp(tU) = Sigma_{s=0}^{infty}frac{t^s}{s!}U^s$.
De esta manera, tenemos:
$latex exp: mathfrak{g}(n,mathbb{K}) longrightarrow GL(n,mathbb{K}) , / , A = e^U$,
es decir, la exponencial matricial habitual.