Formas invariantes y forma de Killing

Una $latex q$-forma o una forma multilineal $latex Phi$ (una métrica, por ejemplo, es una $latex 2$-forma, una forma bilineal) es invariante si es invariante por la izquierda, o sea, si $latex L_a^* Phi = Phi$ (recordar que $latex L_a$ es un desplazamiento en el grupo $latex G$, $latex (L_a)_*$ es un desplazamiento en el espacio tangente $latex TG$ y $latex L_a^*$ lo es en el espacio cotangente $latex T^*G$) e invariente por la derecha. Son, por tanto, invariantes respecto a las transformaciones del grupo adjunto.

En el caso de formas bilineales, $latex Phi$ es invariante si:

$latex Phi(Ad(a) u, Ad(a) v) = Phi(u,v)$,

o, lo que es lo mismo, si:

$latex Phi([w,u],v) + Phi(u,[w,v]) = 0$.

Cuando un grupo de Lie admite una forma bilineal simétrica invariante definida positiva o negativa, entonces su álgebra de Lie es equivalente a un espacio euclideo con métrica $latex g(u,v) = Phi(u,v)$. Son las álgebras de Lie compactas, y se corresponden con los grupos de Lie compactos.

La forma de Killing es un ejemplo importante de forma bilineal simétrica invariante:

$latex B(u,v) = tr (ad(u) ad(v))$,

que, en componentes, queda:

$latex B(u,v) = g_{ij} u^i u^j$. Como $latex (ad(u))^i_j = c^i_{kj}u^k$, entonces $latex g_{ij} = c^k_{is} c^s_{jk}$.

Por ejemplo, la forma de Killing del grupo $latex GL(n,mathbb{K})$ quedaria:

$latex B(u,v) = 2n,tr(uv) – 2,tr(u),tr(v)$,

que es degenerada. Para hallarla, tomamos la base de matrices $latex E^alpha_beta$ (matrices con todas las componentes a cero excepto en la componente de fila $latex alpha$ y  columna $latex beta$ que contiene la unidad) del álgebra de Lie correspondiente y como:

$latex ad(u) E^alpha_beta = (delta^alpha_sigma u^tau_beta – delta^tau_beta u^alpha_sigma) E^sigma_tau$,

entonces:

$latex ad(u) cdot ad(v) E^alpha_beta = (delta^alpha_sigma u^tau_gamma v^gamma_beta + delta^tau_beta v^alpha_gamma u^gamma_sigma – u^alpha_sigma v^tau_beta – v^alpha_sigma u^tau_beta) E^sigma_tau$.

Tags: , , , , , , ,

Reply

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *


¡IMPORTANTE! Responde a la pregunta: ¿Cuál es el valor de 15 13 ?