Lógica modal, teorema de Löb i teorema de incompletitud de Gödel

A partir de una interesante conversación en el trabajo con el Dr. Petar Mimica, me he visto en la necesidad de repasar algunos conceptos interesantes de las asignaturas que cursé en el área de informática teórica.

El primero de ellos és el de la lógica modal. Las lógicas tradicionales son la proposicional, o de orden cero ($latex CP0$), y la lógica de predicados, o de primer orden ($latex CP1$). En toda lógica, como en todo lenguaje formal, distinguimos tres aspectos básicos: su léxico, es decir, que «palabras» podemos utilizar en el lenguaje, su sintaxis, es decir, cuales son las reglas para construir «oraciones» con nuestro léxico, y finalmente su semántica, o sea, el significado del que dotamos a estas palabras y oraciones. La lógica proposicional tiene menos poder expresivo que la lógica preposicional pero, en contraposición, es completa.

En la lógica modal, lo que pretendemos es ampliar la capacidad expresiva del $latex CP0$ introduciedo dos nuevos símbolos que nos permitiran expresar de que modo se verificaran las fórmulas de esta lógica: necesariamente ($latex square$) o posiblemente ($latex lozenge$), uno primitivo y otro definible a partir de éste, junto con el conjunto de reglas que nos permite operar con ellos.

En esta lógica, el teorema de Löb se escribe, sencillamente:

$latex square (square P rightarrow P) rightarrow square P$,

y da lugar a paradojas, pues es un enunciado que, a partir de un lenguaje (lo suficientemente expresivo) intenta demostrar cuestiones sobre el propio lenguaje.

La idea es la misma, en otro nivel, a la del teorema de incompletitud de Gödel: para hacer afirmaciones sobre las propiedades de un lenguaje (en términos de consistencia, completitud, etc.) no es suficiente con el propio lenguaje: necesitamos un metalenguaje. Se ha hablar mucho al respecto, pero desde mi humilde punto de vista, lo único que nos está diciendo es que, si nos imaginamos en algún lugar toda la matemática (el Libro al que hacia referencia Erdös :-), nunca podremos tener un sistema de axiomas y reglas que nos permite generarlo de manera completa, pero si parcial. Además, cambiando este sistema, posiblemente podamos generar nuevas demostraciones  imposibles en el anterior (a cambio de perder otras si generables en el primero) y sin inconsistencias entre las generables en ambos.

Haciendo un simil con las variedades diferenciables (y salvando la enorme cantidad de defectos obvios que tiene esta comparación), nunca tendremos una carta para cubrir toda la variedad, necesitaremos varias, pero serán compatibles entre ellas en los solapes.

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