Cálculo de los símbolos de Christoffel, de la conexión de Levi-Civita y de las geodésicas en un agujero negro de Kerr

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr. Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es: $latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$. Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding: $latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin […]

Expresión en coordenadas de la conexión de Levi-Civita

El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad $latex M$ admite una inmersión $latex f:M longrightarrow mathbb{R}^m$ en un espacio euclideo de dimensión apropiada $latex m$ entonces $latex f^*h$ es una métrica de Riemann en $latex M$ donde $latex h$ es la métrica […]

Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas. Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que […]

Las ecuaciones de campo de Einstein.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas. Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo […]