Tensor de energía impulso

Energía del campo electromagnético

En el artículo [Rosswog 2009], Stephan Rosswog hace un repaso detallado del método SPH centrandose especialmente en sus aplicaciones en astrofísica. Repasamos el apartado que hace referencia a las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana.

A diferencia de los metodos basados en malla, que son Eulerianos, es decir, métodos donde  describimos el fluido desde un punto fijo del espacio, el Smoothed Particle Hydrodynamics es totalmente Lagrangiano, por lo que describimos el fluido desde un sistema de coordenadas fijado en una particula del fluido en movimiento.

La derivada Lagrangiana o sustancial respecto del tiempo, $latex frac{d}{dt}$, se relaciona con la derivada Euleriana respecto al tiempo, $latex frac{partial}{partial t}$ de la siguiente manera:

$latex frac{d}{dt} = frac{dx^i}{dt} frac{partial}{partial x^i} + frac{partial}{partial t} = vec{v} cdot nabla + frac{partial}{partial t}$

Aplicando esta relación a las ecuaciones en forma Euleriana, las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana quedan:

1. Ecuación de continuidad: $latex frac{d}{dt} rho = – rho nabla cdot vec{v}$
2. Ecuacion del momento: $latex frac{d}{dt} vec{v} = -frac{nabla P}{rho} + vec{f}$
3. Ecuación de la energía: $latex frac{d}{dt}u = frac{P}{rho^2} frac{d}{dt} rho = – frac{P}{rho} nabla cdot vec{v}$
4. Ecuación de estado, que describe la termodinámica del fluido estelar: $latex P = (gamma -1) cdot rho cdot epsilon$ (ecuación del gas ideal)

Las ecuaciones de Euler gobiernan la dinámica de los fluidos compresibles, como gases o líquidos a alta presión, cuando consideramos despreciables las fuerzas de cuerpo, las tensiones viscosas y los flujos de calor. Forman un sistema de PDE no lineal hiperbólico.

En el caso clásico, deducidas por Leonhard Euler, las leyes de conservación son las siguientes:

1. Conservación de la masa: $latex rho_t + nabla cdot (rho vec{v}) = 0$
2. Conservación del momento: $latex (rho vec{v})_t + nabla cdot (rho vec{v} otimes vec{v} + pI) = 0 $
3. Conservación de la energia: $latex E_t + nabla cdot [(E + p)] vec{v} = 0$

donde $latex rho(x,y,z,t)$ es la densidad de masa, $latex vec{v}= (v^1,v^2,v^3)$ es el vector velocidad con $latex v^i(x,y,z,t)$, $latex p(x,y,z,t)$ es la presión,

De hecho, podemos escribir el sistema de forma compacta:

$latex U_t + nabla cdot H = 0$

con el vector columna $latex U = left[ begin{array}{c} rho \ rho v^1 \ rho v^2 \ rho v^3 \ E end{array} right]$ y el tensor $latex H = begin{bmatrix} rho v^1 & rho (v^1)^2 + p & rho v^2 v^1 & rho v^3 v^1 & v^1 (E + p) \ rho v^2 & rho v^1 v^2 & rho (v^2)^2 + p & rho v^3 v^2 & v^2 (E + p) \ rho v^3 & rho v^1 v^3 & rho v^2 v^3 & rho (v^3)^2 + p & v^3 (E + p) end{bmatrix}$

La derivación de estas leyes de conservación esta basada en la relación entre las integrales en volumenes de control y sus fronteras y utilizando el teorema de Gauss. En la forma integral de las ecuaciones no necesitamos la hipótesis de diferenciabilidad. Para la conservación de la masa asumimos que en un volumen $latex V$ la masa ni se crea ni se destruye, por lo que la variación de fluido en su interior esta relacionada con la cantidad del mismo que atraviesa su frontera $latex partial V$