diferencial exterior

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Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial

$latex X = -4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$

y el campo vectorial

$latex Y=-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$.

Tenemos tambien la $latex 1$-forma $latex alpha = 2xy dz – z dx$. En este caso trabajamos con la variedad $latex M = mathbb{R}^3$ (en física los escribiríamos $latex X(x,y,z) = (-4y,9x,1)$ o $latex vec{Y}=(0,-1,3x)$).

Empezaremos calculando un corchete de Lie. ¿Cómo queda el cálculo de $latex [X,Y]$? Si escribimos el corchere con los campos concretos nos queda:

$latex [X,Y] = [-4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z},-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z}]$.

Lo primero que hacemos es aplicar que el corchete de Lie es bilineal, por lo que la expresión anterior queda:

$latex [-4y frac{partial}{partial x},-1 frac{partial}{partial y} ] + [-4y frac{partial}{partial x}, 3x frac{partial}{partial z}] + $

$latex + [9x frac{partial}{partial y},-1 frac{partial}{partial y}] + [9x frac{partial}{partial y}, 3x frac{partial}{partial z}] + $

$latex + [1 frac{partial}{partial z},-1 frac{partial}{partial y}] + [1 frac{partial}{partial z}, 3x frac{partial}{partial z}]$

Se puede demostrar que si $latex g,h in C^infty(M)$ y $latex X,Y in mathfrak{X}(M)$ entonces:

$latex [gX,hY] = gX(h)Y – hY(g)X + gh[X,Y]$,

por lo que, si la aplicamos a nuestro caso concreto, nos queda:

$latex -4y frac{partial(-1)}{partial x} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (-4y)}{partial y} frac{partial}{partial x} + (-4y)(-1)[frac{partial}{partial x},frac{partial }{partial y}] + $

$latex -4y frac{partial(3x)}{partial x} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (-4y)}{partial z} frac{partial}{partial x} + (-4y)(3x)[frac{partial}{partial x},frac{partial }{partial z}] + $

$latex 9x frac{partial(-1)}{partial y} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (9x)}{partial y} frac{partial}{partial y} + (9x)(-1)[frac{partial}{partial y},frac{partial }{partial y}] + $

$latex 9x frac{partial(3x)}{partial y} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (9x)}{partial z} frac{partial}{partial y} + (9x)(3x)[frac{partial}{partial y},frac{partial }{partial z}] + $

$latex 1 frac{partial(-1)}{partial z} frac{partial}{partial y} + 1 frac{partial (1)}{partial y} frac{partial}{partial z} + (1)(-1)[frac{partial}{partial z},frac{partial }{partial y}] + $

$latex 1 frac{partial(3x)}{partial z} frac{partial}{partial z} – 3x frac{partial (1)}{partial z} frac{partial}{partial z} + (1)(3x)[frac{partial}{partial z},frac{partial }{partial z}]$.

Realizando las derivadas parciales indicadas ($latex frac{partial (-1)}{partial x} =0, frac{partial (-4y)}{partial y} = 4$, …) y teniendo en cuenta que el corchete de Lie de campos coordenados es nula, nos queda:

$latex [X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$.

Vamos a calculara ahora $latex dalpha$. Para empezar, aprovechamos que es lineal, por lo que:

$latex dalpha = d(2xydz – zdx) = d(2xydz) – d(zdx)$

y ahora aplicamos la definición del operador diferencial exterior a cada sumando:

$latex d(2xy)wedge dz – d(z) wedge dx$

finalmente, como la diferencial exterior sobre funciones es la diferencial ordinaria, aplicando las propiedades distributiva, antisimétrica y $latex d^2=0$, nos queda:

$latex (2ydx + 2xdy) wedge dz – dz wedge dx = $

$latex 2y , dx wedge dz + 2x , dy wedge dz + dx wedge dz$

Por lo, finalmente, nos queda:

$latex dalpha = 2y+1,dx wedge dz + 2x,dywedge dz$

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