ecuación momento

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En [Rosswog 2009] tenemos las ecuaciones de la hidrodinámica en forma Lagrangiana discretizadas y en su forma mas básica. Las partículas avanzaran en el tiempo siguiendo las siguientes ecuaciones:

Para empezar, no hay necesidad de resolver la ecuación de continuidad ya que la masa de las partículas permanece fija. Podemos obtener las densidades mediante:

$latex rho_a = sum_b m_b W_{ab}$

La ecuación del momento queda:

$latex frac{d}{dt}vec{v}_a = – sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{P_b}{rho_b^2} + Pi_{ab} ) nabla_a W_{ab} $

La ecuación de evolución para la energía interna específica puede escribirse como:

$latex frac{d}{dt} u_a = sum_b m_b (frac{P_a}{rho_a^2} + frac{1}{2}Pi_{ab}) vec{v}_{ab} nabla_b W_{ab} $

Rosswog las llama «vanilla ice» SPH.

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En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial.

Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es:

$latex T^{mu nu} = (n m_0 c^2 + n tau + P) U^mu U^nu + P g^{mu nu}$

donde los indices griegos van de $latex 0$ a $latex 3$ y los coeficientes de la métrica se definen

$latex g_{00} = -1$ y $latex g_{ij} = 1$

En estas ecuaciones, $latex n$ representa la densidad de bariones, $latex P$ es la presión, $latex tau$ la energía térmica, $latex c$ la velocidad del sonido, $latex U^nu$ la 4-velocidad con $latex U_nu U^nu = -1$ y $latex m_0$ la masa.

Las ecuaciones del momento se siguen de:

$latex frac{partial}{partial x^nu} T^{i nu} = 0$

que es:

$latex frac{d}{dt} q = – frac{1}{N} nabla P$

y en forma SPH queda:

$latex frac{d}{dt}q_a = -sum_b nu_b (frac{P_a}{n_a^2} + frac{P_b}{N_b^2}) nabla_a W_{ab}$

donde $latex nu_b$ es el número de bariones asociados a la partícula $latex b$.

Y la de la energía se sigue de:

$latex frac{partial}{partial x^j} T^{0j} = 0$

que es:

$latex frac{d}{dt} epsilon = – frac{1}{N} nabla cdot (Pv)$

y en foma SPH queda:

$latex frac{d}{dt} epsilon_a = -sum_b m_b (frac{P_a v_a}{N_a^2} + frac{P_b v_b}{N_b^2}) nabla W_{ab} $

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