métrica Kerr

You are currently browsing articles tagged métrica Kerr.

Calcularemos el tensor de Riemann, el de Ricci y la curvatura escalar para la métrica de Kerr correspondiente a un agujero negro en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0, Q=0$), cuya métrica ya utilizamos.

A continuación, mostramos nuestras funciones para realizar los calculos automáticamente:

tensor de Riemann:

riemanNd

tensor de Ricci:

ricciNd

curvatura escalar:

rNd

y obtenemos (solo escribiremos una elemento de cada debido a su complejidad):

$latex R^{t}_{ttvarphi}$:

tRiemann_rtttvp

donde $latex x1=t, x2=r, x3=theta, x4=varphi$.

$latex R_{rtheta}$:

tRicci_rth

y dos gráficas correspondientes a su curvatura escalar $latex R$:

curvaturaEscalar3D2

curvaturaEscalar3D

En la definición de la métrica, tenemos la restricción $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$, que en nuestro caso, como imponemos $latex M=1$, nos queda $latex 0 leq J leq 1$. A continuación una serie de gráficos en los que hacemos el valor de

$latex J=0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1$:

Tags: , , , , , , ,

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

$latex g = – (1-frac{2Mr}{Sigma})dt otimes dt – frac{4aMrsin^2theta}{Sigma}dt tilde{otimes} dvarphi + $

$latex + frac{Sigma}{Delta}dr otimes dr + Sigma dtheta otimes dtheta + (r^2+a^2+frac{2a^2Mrsin^2theta}{Sigma})sin^2theta dvarphi otimes dvarphi$

donde $latex a:=frac{J}{M}$, $latex Delta:= r^2 – 2Mr + a^2$ y $latex Sigma = r^2 + a^2 cos^2 theta$. El agujero negro está rotando en la dirección $latex +varphi$ y el espín está restringido al rango $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando $latex a=0$.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en $latex 4$ dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

$latex left(
begin{array}{cccc}
-1+frac{2 M text{x2}}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} \
0 & frac{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}}{frac{J^2}{M^2}-2 M text{x2}+text{x2}^2} & 0 & 0 \
0 & 0 & text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2} & 0 \
-frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & text{Sin}[text{x3}]^2 left(frac{J^2}{M^2}+text{x2}^2+frac{2 J^2 text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{M left(text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}right)}right)
end{array}
right)$

y en un momento obtenemos:

$latex Gamma^{1}_{alpha beta}$:

Gamma1

$latex Gamma^2_{alpha beta}$:

Gamma2

$latex Gamma^3_{alpha beta}$:

Gamma3

$latex Gamma^4_{alpha beta}$:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

$latex frac{d^2}{dt^2}x^i + Gamma^i_{jk} frac{d}{dt}x^j frac{d}{dt}x^k = 0$.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases} ddot{t} + ldots = 0 \ ddot{r} + ldots = 0 \ ddot{theta} + ldots = 0 \ ddot{varphi} + ldots = 0 end{cases}$

donde, por ejemplo, para $latex theta$ tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

$latex ddot{theta} – $

$latex – frac{J^2 M^5 r text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t}^2 + frac{J^2 M^2 text{Sin}[theta]}{2 left(J^2+M^2 r (-2 M+r)right) left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)} dot{r}^2 – frac{J^2 text{Sin}[theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 text{Cos}[theta]} dot{theta}^2 – $

$latex -frac{left(J^2+M^2 r^2right) text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^2 text{Sin}[theta]+4 J^2 M^3 r text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right) text{Sin}[theta]^3+J^4 M^3 r text{Sin}[theta]^5}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{varphi}^2 + $

$latex + frac{J M^4 r left(4 M^2 r^2 text{Cos}[theta]+J^2 (3+text{Cos}[2 theta])right) text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t} dot{varphi} + frac{r}{r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta]}{M^2}} dot{r} dot{theta} = 0$

Tags: , , , ,

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis «Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues» de I. Cordero podemos encontrarlas.

Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos lleva a la métrica de Schwarzschild ($latex J=0, Q=0$) que podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Schwarzschild $latex (r,theta,varphi,tau)$ con $latex r > 2M$ y siendo $latex tau$ el tiempo propio:

$latex g = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr otimes dr + r^2 (dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi)-(1-frac{2M}{r})dtau otimes dtau$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} frac{1}{1-frac{2M}{r}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

y en física se suele escribir:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 (dtheta^2 + sin^2 theta dvarphi^2)-(1-frac{2M}{r})dtau^2$

Además, como $latex dOmega^2 = dtheta^2 + sin^2theta dvarphi^2$ es la métrica de $latex S^2$ ($latex S^2(theta,varphi) = (sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta)$ en $latex ]0,pi[ times ]0,2pi[$ de manera que $latex g_{11} = S^2_theta cdot S^2_theta = 1$, $latex g_{12} = g_{21} = S^2_theta cdot S^2_varphi = 0$ y $latex g_{22} = S^2_varphi cdot S^2_varphi = sin^2 theta$, con lo que $latex g = dtheta otimes dtheta + sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$), tenemos:

$latex ds^2 = frac{1}{1-frac{2M}{r}}dr^2+ r^2 dOmega^2 – (1-frac{2M}{r})dtau^2$

Coordenadas isotrópicas $latex (bar{r},theta,varphi,tau)$ con $latex r = bar{r} (1 + frac{M}{2bar{r}})^2$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = (1+frac{M}{2bar{r}})^4(dbar{r}^2+ bar{r}^2 dOmega^2 )- big (frac{1-frac{M}{2bar{r}}}{1+frac{M}{2bar{r}}} big) dtau^2$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo propio constante son conformemente planas y singulares en el horizonte.

Coordenadas de Painlevé-Gullstrand-Lemaître $latex (r,theta,varphi, T)$ con $latex dT = dtau + frac{sqrt{frac{2M}{r}}}{1-frac{2M}{r}}dr$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = dr^2 + r^2 dOmega^2 + 2 sqrt{frac{2M}{r}}dTdr – (1-frac{2M}{r})dT^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & sqrt{frac{2M}{r}} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ sqrt{frac{2M}{r}} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Coordenadas de Eddington-Finkelstein $latex (t, r, theta, varphi)$ con $latex t = tau + 2M ln |frac{r}{2M} – 1|$ respecto de las de Schwarzschild:

$latex ds^2 = frac{1}{1+frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 dOmega^2 + frac{4M}{r} dtdr – (1-frac{2M}{r})dt^2$

que en forma matricial queda:

$latex g=begin{bmatrix} 1+frac{2M}{r} & 0 & 0 & frac{2M}{r} \ 0 & r^2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & r^2 sin^2 theta & 0 \ frac{2M}{r} & 0 & 0 & -(1-frac{2M}{r}) end{bmatrix}$

Las métricas inducidas por estas dos métricas en las hipersuperficies de tiempo constante son planas y regulares en el horizonte.

En el llibre «Geometria diferencial i relativitat» de J. Girbau tambe comenta les coordenadas de Kruskal-Szekeres $latex (u,v,theta,varphi)$:

$latex ds^2 = frac{32M^3}{r} e^{-frac{r}{2M}} (du^2 – dv^2) + r^2 dOmega^2$

donde

$latex u=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} cosh frac{tau}{4M}$

y

$latex v=sqrt{frac{r}{2M}-1} e^{frac{r}{4M}} sinh frac{tau}{4M}$

No hay singularidad física en $latex r=2M$, pero hay dos en $latex r=0$.

En segundo lugar, tenemos la métrica de Kerr ($latex J neq 0, Q = 0$) que también podemos escribir en diferentes sistemas de coordenadas:

Coordenadas de Boyer-Lindquist $latex (r,theta,varphi,t)$:

$latex ds^2 = frac{rho^2}{Delta} dr^2 + rho^2 dtheta^2 + tilde{w}^2(dvarphi – wdt)^2 – (frac{rho sqrt{Delta}}{Sigma})^2dt^2$

donde

$latex Delta = r^2 -2Mr + a^2$

$latex rho^2 = r^2 + a^2 cos^2 theta$

$latex Sigma^2 = (r^2 + a^2)^2 – a^2 Delta sin^2 theta$

$latex w = frac{2aMr}{Sigma^2}$

$latex tilde{w} = frac{Sigma sin theta}{rho}$

y siendo $latex a$ el momento angular del BH. Fijando $latex a=0$ obtenemos el BH de Schwarzchild en coordenadas de Schwarzchild.

Coordenadas de Kerr-Schild $latex (r,theta,bar{varphi},bar{t})$:

$latex ds^2 = frac{Z^{2k}-1}{Z-1} dr^2 + rho^2 dtheta^2+ sin^2 theta rho^2 [1+Y(1+Z)] dbar{varphi}^2 – (1-Z) dbar{t}^2+$

$latex +2aepsilon sin^2 theta frac{Z^{k+1}-1}{Z-1}drdbar{varphi} -2 epsilon Z^k dr dbar{t} -2 a sin^2 theta Z dbar{varphi}dbar{t}$

donde

$latex Y = frac{a^2 sin^2 theta}{rho^2}$, $latex Z = frac{2Mr}{rho^2}$

y $latex epsilon = +1(-1)$ regulariza el horizonte futuro (pasado) del BH. La relación con las anteriores coordenadas viene dada por

$latex dbar{varphi} = dvarphi – epsilon frac{a}{Delta} dr$

$latex dbar{t} = dt – epsilon [ frac{1+Y}{1+Y-Z} – frac{1-Z^k}{1-Z} ] dr$

donde $latex Delta$ es la función horizonte, que es cero en el horizonte y hace que la componente $latex g_{tt}$ de la métrica se anule.

Tags: , , , , , , , , , , , ,