Queremos resolver el sistema $latex Au =f$. Multigrid utiliza métodos iterativos para su resolución, por lo que necesita de un aproximación inicial de la solución. Sin embargo, asegurada la convergencia del método, la aproximación inicial puede ser cualquier valor y solo determina la velocidad de convergencia (mayor cuanto mejor sea ésta).
La idea inicial es utilizar una estrategia que utiliza mallas mas gruesas para determinar un valor inicial para la siguiente malla mas fina, de manera que tendriamos algo asi como (denotamos con $latex Omega^{h}$ a una malla con un tamaño de intervalo $latex h$):
- Relajación sobre $latex Aboldsymbol{u} =boldsymbol{ f}$ en una malla muy gruesa para determinar una primera aproximación para la siguiente malla mas fina.
- …
- Relajación sobre $latex Aboldsymbol{u} =boldsymbol{ f}$ en la malla $latex Omega^{4h}$ para obtener un valor inicial para la malla $latex Omega^{2h}$.
- Relajación sobre $latex Aboldsymbol{u} =boldsymbol{ f}$ en la malla $latex Omega^{2h}$ para obtener un valor inicial para la malla $latex Omega^{h}$.
- Relajación sobre $latex Aboldsymbol{u} =boldsymbol{ f}$ en la malla $latex Omega^{h}$ para obtener la solución final.
Esta es la aproximación por iteraciones anidadas, la mas sencilla. El principal problema es saber cuanto hemos de relajar en cada malla, pues hay que llegar a la última iteración de manera que, al terminar, el error sea del tipo apropiado. Puesto que sabemos que los métodos iterativos sufren en presencia de errores suaves, hay aprovechar esto para saltar de malla.
Una segunda idea incorpora la idea de utilizar la ecuación residual, $latex Aboldsymbol{e} = boldsymbol{r} = boldsymbol{f} – Aboldsymbol{v}$, para relajar sobre el error:
- Relajación sobre $latex Aboldsymbol{u} =boldsymbol{ f}$ en la malla $latex Omega^{h}$ para obtener una aproximación de $latex boldsymbol{v}^h$.
- Calcular $boldsymbol{r} = boldsymbol{f} – Aboldsymbol{v}$.
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