Cálculo de la derivada de Lie de la diferencial exterior de una n-forma.

En el cáculo de este post, como $latex mathcal{L}_X dalpha = d mathcal{L}_X alpha$, y en este caso conocemos $latex alpha$, también podemos hacer: $latex mathcal{L}_{[X,Y]}d alpha = dmathcal{L}_Z alpha = d big [ mathcal{L}_{(-4 frac{partial}{partial x} – 12y frac{partial}{partial z})} (2xy,dz – z , dx big ])$ Calculamos, en primer lugar, $latex mathcal{L}_Z alpha$: […]

Cálculos típicos en variedades diferenciables: la derivada de Lie.

Ya nos apareció la derivada de Lie. Con los datos de este post, ¿Cómo calcularíamos $latex mathcal{L}_{[X,Y]} beta$ con $latex beta := d alpha$? Primero necesitamos calcular el corchete de Lie de los campos dados: $latex Z:=[X,Y] = -4 frac{partial}{partial x} -12y frac{partial}{partial z}$ y que es otro campo vectorial, a continuación necesitamos  la $latex 2$-forma […]

Cálculos típicos en variedades diferenciables: corchete de Lie y diferencial exterior.

Realizaremos algunos cálculos típicos en variedades diferenciables. Para ello, vamos a suponer que tenemos el campo vectorial $latex X = -4y frac{partial}{partial x} + 9x frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$ y el campo vectorial $latex Y=-frac{partial}{partial y} + 3x frac{partial}{partial z} in mathfrak{X}(mathbb{R}^3)$. Tenemos tambien la $latex 1$-forma $latex alpha = 2xy dz […]

Campos magnéticos en SPH

En el artículo «MAGMA: a three-dimensional, Lagrangian magnetohydrodynamic code for merger applications» de S. Rosswog y D. Price comentan como introducir campos magnéticos en SPH. Las ecuaciones ya discretizadas quedan: Ecuación de densidad: $latex rho = sum_b m_b W(r-r_b,h)$ Ecuación del momento (conh: «grad-h» term, mag: magnetic force term, g: self-gravity and gravitational softening term) […]

Integración en el plano complejo. Formula y teorema de Cauchy para circunferencias.

Integración en el plano complejo. Definición (Camino, camino opuesto y caminos equivalentes): Un camino es una aplicación $latex gamma:[a,b] longrightarrow mathbb{C}$ de clase $latex C^1$ a trozos. Si además $latex gamma(a) = gamma(b)$ entonces tenemos un camino cerrado. Se llama camino opuesto de $latex gamma$ a la aplicación $latex (-gamma):[-b,-a] longrightarrow mathbb{C} ,/, t mapsto […]

Una pequeña historia para el diagrama de comunicación de nuestra aplicación.

El Dr. Treb Lae y la Dra. Aini Vadh simulan colisiones de objetos compactos. Para poder hacerlas es para lo que me utilizan. Mi nombre es Tnala y soy una supercomputadora. Pero no una cualquiera, no, soy una de las que aparece en el TOP500. —Vamos a hacer otra simulación —dice Treb—. ¿Qué colocamos esta […]

La función exponencial y logaritmo complejas. Ramas del logaritmo.

Definición (Función exponencial): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos: $latex exp(z) = e^z := sum_{n geq 0} frac{z^n}{n!} in C^infty(mathbb{C})$. Propiedades: Es sencillo verificar que $latex (e^z)’ = e^z$, $latex e^{z+w} = e^z e^w$ y $latex e^z neq 0, e^{-z} = frac{1}{e^z}$. Además: $latex e^z = 1 Leftrightarrow z = 2pi n i$ con $latex […]

Documentación generada de DualSPHysics por doxygen

El software DualSPHysics es la versión paralela con CPUs y GPUs de SPHysics. El código se ha implementado esta vez en C++ y CUDA. A continuación mostramos dos diagramas de colaboración de DualSPHysics generados automáticamente por doxygen,

Funciones holomorfas.

Definición (Función holomorfa): Sean $latex U subset mathbb{C}$ abierto, $latex f: U longrightarrow mathbb {C}$ y $latex z_0 in U$. Decimos que $latex f$ es holomorfa (derivable o entera) en $latex z_0$ si existe: $latex lim_{z rightarrow z_0} frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = f'(z_0)$. Diremos que es derivable en $latex U$ si lo es todo sus puntos. Representaremos […]

Funciones analíticas.

Consideraremos el plano complejo $latex mathbb{C}$ dotado de la topología inducida a partir del módulo con la distancia $latex d(z,w) = |z-w|$. Llamaremos disco abierto de centro $latex z_0$ y radio $latex r$ al conjunto: $latex D(z_0,r):= { z in mathbb{C}: |z-z_0|<r }$. Dada una sucesión de números complejos $latex { z_n }_{n geq 0}$, […]

Variedades complejas.

Cuando exigimos que las funciones de transición del atlas que recubre una variedad diferenciable sean holomorfas podemos decir que tenemos una variedad compleja. En particular, toda variedad compleja de dimensión $latex n$ será una variedad diferenciable de dimensión $latex 2n$ dotada de una orientación natural. Las superfícies de Riemann, o los grupos de Lie con […]

Viajes superlumínicos mediante warp drive (impulso por deformación)

Nada que se mueva en el tejido del espacio-tiempo puede superar la velocidad de la luz. Sin embargo, el propio tejido no esta sometido a esta restricción (o al menos eso sugiere la teoría de la inflación cósmica para resolver el problema del horizonte). La materia provoca deformación en el espacio-tiempo. Lo que propone M. […]

Diagrama de comunicación UML 2

Otro diagrama disponible en UML 2 es el diagrama de comunicación. El diagrama de comunicación permite modelar la interacción entre los diferentes objetos que se produce mediante mensajes en secuencia, es decir, muestra que mensajes se pasan los objetos entre si y en que orden. Es un diagrama muy útil, pues muestra tanto información estática, […]

El formalismo 3+1 de la relatividad numérica.

En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, también explica el formalismo $latex 3+1$. Resolver las ecuaciones de campo de Einstein en la práctica es complicado, ya que son un sistema de $latex 10$ EDPs en $latex 4D$ acopladas y no lineales con muchísimos términos. Se conocen soluciones exactas en situaciones muy […]

Métricas como campos tensoriales sobre variedades.

Ya hemos comentado que podemos ver un campo tensorial diferenciable como una generalización de funciones, campos vectoriales y $latex 1$-formas. Estudiaremos ahora el caso de las métricas. Como comentamos en un post anterior, una métrica de Riemann: $latex g_m: T_mM times T_mM longrightarrow mathbb{R}$ podemos verla como un campo tensorial dos veces covariante, de tipo […]

Las ecuaciones de campo de Einstein.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas. Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo […]

Algebra tensorial y campos tensoriales sobre variedades.

Sean $latex V_1, cdots, V_r$ espacios vectoriales de dimensión finita sobre $latex mathbb{R}$ y sean $latex V_1^*, cdots, V_r^*$ sus espacios duales. Definimos el producto tensorial como el espacio vectorial de aplicaciones multilineales de $latex V_1^* times ldots times V_r^*$ en $latex mathbb{R}$, es decir: $latex V_1 otimes ldots otimes V_r := mathcal{L}(V_1^* times ldots […]

Fibrados tangente y cotangente.

Dada una variedad diferenciable $latex M$, una curva diferenciable en $latex M$ es una aplicación diferenciable $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ donde $latex a,b in mathbb{R}$ y $latex a<b$. Dado un punto $latex m$: denotaremos por $latex mathcal{C}(M,m)$ al conjunto de curvas diferenciables $latex alpha:]a,b[ longrightarrow M$ tales que $latex a<0<b$ y $latex alpha(0) = m$. […]

Campo gravitatorio producido por un BH neutro en equilibrio: soluciones analíticas de las ecuaciones de campo de Einstein.

Como ya comentamos, existen diferentes soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein correspondientes a los diferentes tipos de BH en equilíbrio. En la tesis «Evolution formalism of Einstein equations: numerical and geometrical issues» de I. Cordero podemos encontrarlas. Para empezar, la consideración de variedades de Lorentz con simetría esférica y tensor de Ricci nulo, nos […]

Agujeros negros (BHs) en relatividad numérica.

Desde un punto de vista astrofísico, un BH es el resultado final de algunos tipos de colapso gravitatorio de objetos estelares concretos. Desde un punto de vista geométrico, un BH es una solución de las ecuaciones de Einstein que contiene una singularidad, curvatura infinita, en la métrica del espacio-tiempo. Llamamos horizonte a la frontera del […]

Grupos de Lie y el grupo general lineal

En el libro «Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups» de F. Warner, encontramos que un grupo de Lie es una variedad diferenciable $latex G$ en la que tenemos definida una operación $latex G times G longrightarrow G$ tal que: $latex rho: G times G longrightarrow G ,/, (sigma,tau) mapsto rho(sigma,tau) = sigma tau^{-1}$ es […]

Diagrama de casos de uso y diagrama de secuencia UML

Junto al diagrama de clases, que forma parte de los diagramas de modelado estructurado (visión estática del modelo) que ya hemos comentado, existen otros diagramas de modelado de comportamiento (visión dinámica del modelo) ampliamente utilizados como son los diagramas de casos de uso y los diagramas de secuencia. El diagrama de casos de uso muestra […]

Construcción de nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas. Ejemplos.

En el libro «Foundations of differenciable manifolds and Lie groups» de Warner comenta como construir nuevas variedades diferenciables a partir de variedades conocidas. Dada una variedad $latex (M,mathcal{A})$ donde $latex mathcal{A} = { varphi_i: U_i longrightarrow mathbb{R}^n }_{i in I}$ y si consideramos un abierto $latex N subset M$ entonces $latex (N,mathcal{A}_N)$ con: $latex mathcal{A}_N […]

Visualización y análisis con VisIt

VisIt es una herramienta open source que nos permite visualizar y analizar conjuntos de datos extremadamente grandes, del orden de tera y peta, en multiples plataformas. Podemos visualizar rápidamente nuestros datos, animarlos, manipularlos y almacenar los resultados obtenidos. Algunas características interesantes son: Tipos estandar de gráficos: Curve plot, Mesh plot, Contour plot, Surface plot, Vector […]

Algunas variedades diferenciables concretas.

En el libro «Geometria Diferencial i Relativitat» de J. Girbau aparecen algunos ejemplos concretos de variedades diferenciables. Para empezar, $latex { (mathbb{R}^n, id_{mathbb{R}^n}) }$ es un atlas que dota al espacio euclídeo $latex mathbb{R}^n$ de estructura de variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$. También podemos considerar la esfera $latex S^n(r)$ ($latex […]

SPH relativista y aproximación CFC

En la tesis doctoral «Relativistic simulations of compact object mergers for nucleonic matter and strange quark matter» de A. Bauswein comenta la implementación numérica del modelo físico para simular colisiones de objetos compactas. La implementación numérica consta de dos partes: una que resuelve las ecuaciones de Euler tridimensionales relativistas que nos dan la evolución hidrodinámica […]

Variedades difeomorfas

Dos variedades diferenciales $latex M$ y $latex N$ son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Sin considerar ninguna estructura adicional, dos variedades difeomorfas son equivalentes. Sea $latex f:M longrightarrow N$ una aplicación entre variedades de clase $latex C^k$. Diremos que $latex f$ es un difeomorfismo de clase $latex C^k$ si es bijectiva, diferenciable y […]