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Derivada covariante en esféricas normalizadas de un vector

En el siguiente vector, calculado mediante una función escrita en Mathematica, tenemos: $latex (mathcal{D}_r T^r, mathcal{D}_r T^theta, mathcal{D}_r T^varphi, mathcal{D}_theta T^r, mathcal{D}_theta T^theta, mathcal{D}_theta T^varphi, mathcal{D}_varphi T^r, mathcal{D}_varphi T^theta, mathcal{D}_varphi T^varphi)^T=$

Derivada covariante y conexiones (afines)

Una conexión afín (o derivación covariante) permite La derivada covariante del campo vectorial queda: donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas. Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es: $latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$. Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding: $latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin […]

Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas. Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que […]

Las ecuaciones de campo de Einstein.

Hemos hablado mucho de las ecuaciones de campo de Einstein pero aún no han aparecido de manera explícita. En el artículo «Introducción a la relatividad numérica» de M. Alcubierre, éste habla sobre ellas. Las ecuaciones de campo de Einstein, derivadas buscando una generalización relativista y consistente de la ley de gravitación de Newton, como lo […]