Formas invariantes y forma de Killing

Una $latex q$-forma o una forma multilineal $latex Phi$ (una métrica, por ejemplo, es una $latex 2$-forma, una forma bilineal) es invariante si es invariante por la izquierda, o sea, si $latex L_a^* Phi = Phi$ (recordar que $latex L_a$ es un desplazamiento en el grupo $latex G$, $latex (L_a)_*$ es un desplazamiento en el […]

Representaciones lineales de grupos y representación adjunta

Una representación lineal de un grupo $latex G$ es un homomorfismo $latex varphi$ de $latex G$ en el grupo de Lie $latex GL(mathbb{V})$ donde $latex mathbb{V}$ es un espacio vectorial que se puede asociar de manera natural a $latex GL(n,mathbb{K})$ escogiendo una base. Podemos hablar entonces de la acción del grupo $latex G$ sobre el […]

Aplicación exponencial de GL(n,K)

Dado el campo vectorial invariante por la izquierda $latex u(a) = (L_a)_* u$ del grupo de Lie $latex G$, llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE: $latex frac{d}{dt}a = u(a)$, y que, fijada una condición inicial $latex a(0) = a$, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial: $latex a(t) […]

Algebra de Lie de GL(n,K)

En el caso de $latex GL(n,mathbb{K})$, un desplazamiento a la izquierda tiene la forma: $latex L_A X = AX$ donde $latex AX$ es el producto de matrices y cuya diferenciación, que es lo que nos interesa, es: $latex (L_A)_* U = AU$ con $latex U in M(n,mathbb{K})$. De esta manera, todo campo vectorial invariante por […]

Álgebra de Lie de un grupo de Lie

Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones. Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción […]

Álgebras de Lie

Ya hemos visto que, dado un espacio vectorial, es fácil dotarlo de estructura de variedad diferenciable. Vamos a ver que podemos dotarlo de mas estructura. Sea $latex mathfrak{g}$ un espacio vectorial. Diremos que $latex mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie si tenemos definido un conmutador, o sea, una aplicación bilineal $latex mathfrak{g} times mathfrak{g} rightarrow […]

Los grupos ortogonales y unitarios como grupos de Lie.

En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie. Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una […]

Grupos de Lie en el modelo estándar de la física de partículas

En el post anterior hemos comentado algunos grupos topológicos, que veremos en posteriores entradas que están dotados de mas estructura (grupos de Lie), que son importantes para la física. Introducimos brevemente aquí el modelo estandar de la física de partículas. Concretamente, estaremos interesados en: $latex SU(3) times SU(2) times U(1)$, que hace referencia a las […]

Algunos grupos topológicos importantes en física

Cuando decimos que $latex G$ es un grupo topológico queremos decir que $latex G$, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna $latex .$ asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones $latex f(a,b)=ab$ y $latex g(a)=a^{-1}$ son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo […]

Primer post de vacaciones

Hace una semana y pico que estoy de vacaciones y tenía ésto abandonado. Como me he comprado unos cuantos libros (cinco en total y que me voy a leer estos días :D) de editorial URSS sobre Ciencias Físico-Matemáticas, aprovecharé para meter unos cuantos posts sobre cosas interesantes que vaya leyendo. Son libros típicos de paises […]

Aproximación del campo gravitatorio creado por un sistema de masas puntuales con Chombo

Para empezar, vamos a calcular numéricamente, y en mecánica clásica,  el campo creado por una partícula con masa en el espacio. Si colocamos las fronteras de nuestro dominio $latex Omega in mathbb{R}^3$ lo suficientemente lejos, el cálculo del potencial gravitatorio se reduce a resolver la ecuación de Poisson $latex Delta u(x,y,z) = 4 pi G […]

Experiencias elípticas con Chombo (II)

En el libro de Análisis numérico de Burden y Faires aparecen una serie de ejemplos y ejercicios resueltos de PDEs elípticas en 2D. Vamos a intentar resolverlos utilizando Chombo… La primera ecuación corresponde con un ejemplo y es $latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y) = 0$ en $latex Omega = { (x,y): 0<x<0.5, 0<y<0.5}$ y […]