Operador D’Alambertiano

El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$): $latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$, que, numerando las variables, tenemos: $latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (IV): tensores de Riemann, Ricci, Weyl y curvatura escalar.

Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular. El tensor de curvatura de Riemann: $latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$, el tensor de Ricci: $latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – […]

Cálculo de los símbolos de Christoffel, de la conexión de Levi-Civita y de las geodésicas en un agujero negro de Kerr

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr. Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es: $latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$. Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding: $latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin […]

Construcción de dos variedades de Riemann no isométricas a partir de la misma variedad diferenciable.

Tomamos el toro $latex mathbb{T}^2$ como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas. Por una parte, si consideramos $latex mathbb{T}^2 = S^1(frac{1}{a^2}) times S^1(frac{1}{b^2})$. Como a $latex S^1(frac{1}{a^2})$ le corresponde la métrica $latex theta_1^2$ y a $latex S^1(frac{1}{b^2})$ le corresponde $latex theta_2^2$, podemos construir una variedad de Riemann con la […]

Expresión en coordenadas de la conexión de Levi-Civita

El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad $latex M$ admite una inmersión $latex f:M longrightarrow mathbb{R}^m$ en un espacio euclideo de dimensión apropiada $latex m$ entonces $latex f^*h$ es una métrica de Riemann en $latex M$ donde $latex h$ es la métrica […]

Reescritura en cartesianas de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

Ya escribimos al respecto en este post. Aquí lo que haremos es reescribir las expresiones allí introducidas En primer lugar, teniamos:  $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: $latex S_j^* := sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S_j$, $latex S_j := rho h w^2 v_j$. En el caso de estar […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (II): longitud de una curva sobre la variedad y geodésicas.

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior. Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con $latex g = left( begin{array}{cc} a^2 & 0 \ 0 & a^2 sin^2 theta end{array} right)$ y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (I): primera y segunda forma fundamental, normal y curvatura intrínseca.

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a: el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$, el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$, la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$. En particular, cuando la […]

Premio Abel para Pierre Deligne

Pierre Deligne es el ganador del Premio Abel de este año 2013: «for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields” Dos de los blogs que sigo también se hacen eco de la noticia, el de Francisthemulenews y el de Gowers, que de hecho es […]

SCM Pattern Language

Alguna definicion previa (mantendremos la nomenclatura inglesa): Un workspace es un lugar donde el desarrollador tiene todos las entidades que necesita para realizar su tarea. En concreto, puede ser un arbol de directorios en disco en el area de trabajo del desarrollador o una colección de ficheros mantenidad en un espacio abstracto por una herramienta. […]

SCM: Software configuration management

Acabo de conseguir el libro Software Configuration Management Patterns: Effective Teamwork, Practical Integration de Stephen P. Berczuk, Brad Appleton y Kyle Brown en el que se abordan diferentes patrones para la Gestión de Configuración de Software. Además, encontre una presentación de G. Serrano basada en el libro que cubre sobradamente nuestros intereses. En la práctica, […]

Prezi: la presentación desde el esquema

Acabo de descubrir Prezi, un programa que nos permite crear presentaciones online. Por una parte, como acabamos de decir, permite tanto su creación como su exposición sin necesidad de ninguna instalación local. Por otra, el punto mas original, es que nos permite crearla a partir de un único esquema por el que podremos navegar líbremente, […]

GR: calculo tensorial y electrodinámica en SR

En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial. La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores $latex A$ y $latex B$ de tipo $latex binom{m}{n}$ y $latex binom{p}{q}$ respectivamente, podemos construir un nuevo […]

GR: operador gradiente, tiempo propio, 4-momento y algebra tensorial

En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente $latex boldsymbol{d}f$ de un campo escalar $latex f$ como una $latex 1$-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y $latex 1-$formas en espacios curvados. La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos […]

GR: vectores, 1-formas, tensores y espacio-tiempo plano

En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un […]

Relatividad General con Christopher Hirata, el Terry Tao de la física

Acabo de «tropezarme» por primera vez con Christopher Hirata. La verdad, no lo conocía. Me han sorprendido muchisimo algunas similitudes entre su vida y la de Terry Tao cambiando, obviamene, las matemáticas por la física. Hirata nace en 1982, Tao en 1975. Hirata gana una medalla de oro en la IPhO en 1996 a los […]

Visualización remota con VisIt

¿Qué tenemos que hacer para visualizar localmente datos compatibles con VisIt que tenemos en algun host? Para empezar, necesitamos tener la misma versión de VisIt instalada tanto local como remotamente. En segundo lugar, necesitamos crear un New Host en Options->Host profiles… y configurar, básicamente, el Remote host name y el Username (nombre completo de la […]

Variedades y métricas

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas […]

Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas. Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que […]