Reescritura de la reformulación del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

CoCoNuT es un código que permite realizar simulaciones de colapso estelar. Reescribimos las ecuaciones CFC, que son un caso particular de la aproximación FCF haciendo que las $latex h^{ij}$ sean cero, en terminos de las variables que éste utiliza. Empezamos con una auxilar:  $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: […]

Diagnostic Tools (from A Multigrid Tutorial)

Textualmente del libro: «As with any numerical code, debugging can be the most difficult part of creating a successful program. For multigrid, this situation is exacerbated in two ways. First, the interaction between the various multigrid components are very subtle, and it can be difficult to determine which part of a code is defective. Even […]

La derivación y la integración desde un punto de vista algebraico. Utilización en la teoría cuántica de campos.

Simplemente un reblog de nuestro crack Terry Tao sobre como capturar los conceptos esenciales de la derivación y la integración de manera algebraica para permitir su utilización sobre otros sistemas numéricos distintos de aquellos que soportan el concepto de límite, o sea, los reales y los complejos. Posteriormente comenta como puede utilizar éstas cuando trabaja […]

PDE de tipo Poisson con solución analítica

Una manera sencilla de tener una ecuación de Poisson en $latex 3D$ de la que conocer su solución analítica es la siguiente. Para empezar, consideramos una función: $latex u(x,y,z)$ a la que le aplicamos el operador $latex Delta$ y obtendremos otra función: $latex s(x,y,z)$. Ya tenemos $latex Delta u = s$, es decir, $latex frac{partial^2}{partial […]

Diferencias finitas en sistemas no rectangulares para ecuaciones elípticas.

Aunque siempre podemos hacer cambios de coordenadas, vamos a ver como quedan los esquemas de diferencias finitas en sistemas no rectangulares: coordenadas cilíndricas, $latex (rho,phi, z)$, y coordenadas esféricas, $latex (r,theta,phi)$. Nos centraremos en la ecuación de Poisson aunque la técnica se puede extender de manera inmediata a cualquier tipo de PDE. En coordenadas cilíndricas […]

Operador Laplaciano n-dimensional. Discretización y fronteras mediante tensores.

En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como: $latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$ en coordenadas cartesianas, y como: $latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$ en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex […]

¿Qué pasa con tres o todas las fronteras Neumann en 2D?

Vamos a suponer $latex n=3$ para reducir el tamaño de las matrices. Empezamos suponiendo que conocemos: $latex frac{partial}{partial x}|_{0,0,}u, frac{partial}{partial x}|_{0,1}u, frac{partial}{partial x}|_{0,2}u$ $latex frac{partial}{partial y}|_{0,0}u, frac{partial}{partial y}|_{1,0}u$ $latex frac{partial}{partial y}|_{0,2}u, frac{partial}{partial y}|_{1,2}u$ $latex u|_{2,0}, u|_{2,1}, u|_{2,2}$ Discretizamos: $latex frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{h^2} + frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{h^2} = f_{0,0}$ $latex frac{u_{-1,1}-2u_{0,1}+u_{1,1}}{h^2} + frac{u_{0,0}-2u_{0,1}+u_{0,2}}{h^2} = f_{0,1}$ $latex frac{u_{-1,2}-2u_{0,2}+u_{1,2}}{h^2} + frac{u_{0,1}-2u_{0,2}+u_{0,3}}{h^2} = […]

Discretización de PDEs, matrices por bloques, simetrizaciones y rangos.

Suponemos $latex Delta u = f$ en $latex 2D$, es decir, $latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y) = f(x,y)$. Miraremos como queda la matriz del sistema al discretizar, como simetrizarla y su rango en tres casos: condición Neuman respecto $latex x$ en una frontera, condición Neumann respecto $latex y$ en una frontera y condición Neumann […]

Ejemplo sencillo de frontera Neumann en 2D

Suponemos $latex n=5$. En el caso de tener todas las fronteras con condiciones Dirichlet: $latex frac{u_{0,1} -2u_{1,1} + u_{2,1}}{h^2} + frac{u_{1,0} -2u_{1,1} + u_{1,2}}{h^2} = f_{1,1}$ para $latex i,j=1,1$, $latex frac{u_{0,2} -2u_{1,2} + u_{2,2}}{h^2} + frac{u_{1,1} -2u_{1,2} + u_{1,3}}{h^2} = f_{1,2}$ para $latex i,j=1,2$, $latex frac{u_{0,3} -2u_{1,3} + u_{2,3}}{h^2} + frac{u_{1,2} -2u_{1,3} + u_{1,4}}{h^2} = […]

Condiciones de contorno tipo Neumann

En el post anterior hablamos sobre condiciones de frontera y su transferencia entre mallas pero no comentamos en el caso de que las condición haga referencia al valor de la derivada y no al de la función: condición de Neumann. En $latex 1D$ supongamos que ahora tenemos $latex frac{partial^2}{partial x^2}u = f$ en $latex [a,b]$ […]