Corchete de Lie de los elementos de una base no holonómica

Ya comentamos aquí la diferencia entre una base coordenada, por ejemplo $latex {partial_r, partial_theta, partial_varphi }$, y una no coordenada, por ejemplo $latex { partial_r, frac{1}{r} partial_theta, frac{1}{r sin theta} partial_varphi }$, respecto del cálculo de los símbolos de su conexión de Levi-Civita (la derivación covariante libre de torsión derivada de su métrica 🙂 ). […]

Variedades complejas y casi complejas, métricas Hermíticas y métricas Kählerianas.

Muchos de los aspectos de las variedades reales son traducibles a variedades complejas cambiando el concepto de diferenciabilidad por el de holomorfía: atlas con aplicaciones de transición holomorfas, aplicación holomorfa entre variedades complejas, subvariedad compleja de una variedad compleja, etc. Sin embargo, muchas de las propiedades de la variedad compleja dependen unicamente de la existencia […]

Bases coordenadas u holonómicas y coeficientes de la conexión

Los resultados presentados en este post son incorrectos 🙁 . El motivo es que, para la definición de los símbolos de Christoffel, estamos asumiendo, de manera implícita, que trabajamos en una base coordenada o base holonómica, que son bases donde el corchete de Lie de cualquier par distinto es cero: $latex [e_i,e_j] = 0$ si […]

Derivada covariante en esféricas normalizadas de un vector

En el siguiente vector, calculado mediante una función escrita en Mathematica, tenemos: $latex (mathcal{D}_r T^r, mathcal{D}_r T^theta, mathcal{D}_r T^varphi, mathcal{D}_theta T^r, mathcal{D}_theta T^theta, mathcal{D}_theta T^varphi, mathcal{D}_varphi T^r, mathcal{D}_varphi T^theta, mathcal{D}_varphi T^varphi)^T=$

Lógica modal, teorema de Löb i teorema de incompletitud de Gödel

A partir de una interesante conversación en el trabajo con el Dr. Petar Mimica, me he visto en la necesidad de repasar algunos conceptos interesantes de las asignaturas que cursé en el área de informática teórica. El primero de ellos és el de la lógica modal. Las lógicas tradicionales son la proposicional, o de orden […]

Derivada covariante y conexiones (afines)

Una conexión afín (o derivación covariante) permite La derivada covariante del campo vectorial queda: donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas. Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de […]

Correcciones en las últimas entradas: cambios de coordenadas como cartas.

Repasando las ultimas entradas en las que realizaba cambios de variables, me he dado cuenta que, en algunos casos, aunque desde el punto de vista de los cambios de coordenadas dados, los Laplacianos son correctos, en realidad los referentes a compactificaciones no corresponden a éstas sino a sus inversas… 🙁 A ver si me explico. […]

Diferencias finitas de Laplacianos en coordenadas curvilineas ortogonales

Supongamos que tenemos el Laplaciano expresado en un sistema de coordenadas curvilineas cualesquiera: $latex bigg [ c_1 frac{partial^2}{partial x_1^2} + c_2 frac{partial}{partial x_1} +c_3 frac{partial^2}{partial x_2^2} + c_4 frac{partial}{partial x_2} + c_5 frac{partial^2}{partial x_3^2} + c_6 frac{partial}{partial x_3} bigg ] u(x_1,x_2,x_3)$. La expresión correspondiente en diferencias finitas, utilizando las aproximaciones para las primeras y segundas […]

Cálculo automático del Laplaciano para posibles compactificaciones en esféricas

He escrito una función en Mathematica a la que le pasamos el cambio de coordenadas que queremos hacer, junto con el nombre de las variables, y nos devuelve una lista de los coeficientes que acompañan a cada una de las derivadas del Laplaciano, es decir, los seis elementos de la lista $latex { c_1, c_2, […]

Operador Laplaciano en coordenadas ortogonales compactificadas

Vamos a compactificar el operador Laplaciano en coordenadas esféricas y en coordenadas cartesianas: $latex (bar{r}, theta, varphi) longrightarrow (r,theta,varphi) longrightarrow (x,y,z)$ $latex phi(bar{r},theta,varphi) = (frac{bar{r}}{bar{r}+a} sin theta cos varphi, frac{bar{r}}{bar{r}+a} sin theta sin varphi, frac{bar{r}}{bar{r}+a} cos theta)$ de manera que, con la formula ya vista en este post, nos queda: $latex (bar{r}+a)^2 bigg [ frac{(bar{r}+a)^2}{a^2} […]

Posibles compactificaciones

Gracias a la mágia de los infinitos (tenemos tantos puntos en $latex (a,infty)$ como en $latex (a,b)$, por ejemplo) podemos compactificar variedades. A continuación aparecen algunas gráficas de posibles cambios de variables para la compactificación de $latex [0,infty)$ en $latex [0,1]$: $latex bar{r} = frac{r}{r+a}$ o $latex (-infty,infty)$ en $latex [-1,1]$: $latex bar{x} = frac{2}{pi} […]

Operador Laplaciano en coordenadas curvilíneas

El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es: $latex Delta u = frac{partial^2}{partial x^2} u + frac{partial^2}{partial y^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u = frac{partial^2}{(partial x^i)^2} u$. ¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que $latex x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i)$, $latex y=y(q^i)$, $latex z = z(q^i)$ cualesquiera? Pues despues de un poco […]

Funciones booleanas y puertas lógicas

Podemos pensar las funciones como una especie de entidades que a partir de unas entradas nos generan unas salidas. Por ejemplo, en matemáticas la función $latex f(x)=2x$ recibe un número real como entrada y nos devuelve el doble de ese número como salida. Así pues, tenemos que para definir una función necesitamos un conjunto al […]

Reflexiones sobre el futuro del blog

Llegados a este punto, y visto que sigue creciendo el número de visitas, sería interesante no solo escribir sobre las cosas en las que actualmente estoy trabajando (más o menos) sino también sobre aquellas de las que creo que se 🙂 Obviamente, las áreas que mas conozco son las que se corresponden con mis estudios […]

Teselación de Voronoi tridimensional de un conjunto de partículas en movimiento.

A mi casi-código SPH le he añadido la libreria Voro++ de Chris Rycroft y ésta va calculando las correspondientes teselaciones de Voronoi tridimensionales correspondientes a las partículas siguiendo movimientos pendulares (sobre planos z=cte) . Pulsar sobre la imagen para empezar la animación.

Diferencias finitas para la segunda derivada con puntos separados por distancias que siguen una serie geometrica respecto del punto central (II)

Seguimos con el post anterior. Vamos a utilizar ahora siete puntos separados de la siguiente manera: $latex x_0$ $latex x_1:=x_0+n^2 h$ $latex x_2:=x_0 + (n^2+n) h$ $latex x_3:=x_0 + (n^2+n+1) h$ $latex x_4:=x_0 + (n^2+n+2) h$ $latex x_5:=x_0 + (n^2+2n+2) h$ $latex x_6:=x_0 + (2n^2+2n+2) h$

Diferencias finitas para la segunda derivada con puntos separados por distancias que siguen una serie geometrica respecto del punto central (I)

El caso mas sencillo es cuando tenemos cinco puntos: $latex (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), (x_4,y_4)$, de manera que: $latex x_1-x_0 = 2(x_2-x_1) = 2(x_3-x_2) = x_4-x_3$. Tal y como escribimos en el anterior post, el polinomio general para cinco puntos quedaria: $latex L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + y_2 l_2(x) + y_3 l_3(x) […]

Interpolación de Lagrange y formula en diferencias finitas para la aproximación de las derivadas

Dados $latex n+1$ puntos: $latex (x_0,y_0), ldots, (x_n,y_n)$, definimos el polinomio interpolador de Lagrange: $latex L(x) := Sigma_{i=0}^n y_i l_i(x)$ donde: $latex l_i(x) := Pi_{0 leq j leq n,j neq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$. Con esto, tenemos: $latex frac{d^n}{dx^n}L(x) = Sigma_{i=0}^n y_i frac{d^n}{dx^n}l_i(x)$ Supongamos que tenemos $latex n=2$: $latex (x_0,y_0), (x_1,y_1)$. En este caso, tenemos: $latex L(x) […]

Reescritura del Laplaciano nd en diferencias finitas mediante el 1d con fuentes de las (n-1)d restantes

Laplaciano en cartesianas: $latex Delta u = Sigma_i frac{partial^2}{partial x_i^2}u$ 1d $latex frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i $ $latex frac{1}{h^2}u_{i-1} + frac{1}{h^2}u_{i+1} +frac{-2}{h^2}u_i= f_i$ 2d $latex frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}$ $latex i$ fijo: $latex frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})$ $latex j$ fijo: $latex frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})$ […]

Block Cyclic Reduction

Ya hace casi dos meses que no escribo nada en el blog :-(. Es hora de añadir algo. El Block Cyclic Reduction es un algoritmo rápido para resolver sistemas de ecuaciones de manera directa cuya matriz tiene estructura tridiagonal por bloques. Supongamos que tenemos una discretización de un volumen mediante cinco puntos para las $latex […]

Desarrollos multipolares de las fuentes de la aproximación CFC

Como $latex Delta u = f leftrightarrow u = Delta^{-1} f$ entonces $latex mathcal{M}(u) = mathcal{M}(Delta^{-1} f)$ y $latex mathcal{M}(Delta^{-1}f) = frac{1}{r} M(f) + frac{1}{r^2}n_i D^i(f) + frac{3}{2} frac{1}{r^3} n_{langle i} n_{j rangle} Q^{ij}(f) + O(frac{1}{r^4}) + $ $latex + Delta_0^{-1} mathcal{M}(f)$ con $latex M(f) = – frac{1}{4 pi} int f$, $latex D^i(f) = – […]

Álgebra universal: categorías y functores

Un salto cualitativo en las matemáticas se produce al introducir las estructuras algebraicas: un conjunto de elementos con unas operaciones cumpliendo ciertas propiedades, ya que nos permiten abstraernos de los objetos concretos y sacar conclusiones generales a partir de las propiedades que cumplen, de manera que podemos demostrar teoremas que seran tan validos en los […]

Españoles en Annals of Mathematics

La siguiente URL realiza una busqueda en la prestigiosa revista Annals of Mathematics de todos aquellos artículos que contengan la palabra Spain: http://annals.math.princeton.edu/?s=Spain que nos devuelve como resultado 22 artículos a partir del 2004 que tienen a algún español entre sus autores. De estos, los únicos autores que repiten son: Diego Cordoba (3), Francisco Gancedo […]

El cuerpo finito F_2 y las derivadas formales

Dado cualquier número primo $latex p$, el conjunto $latex mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ de los enteros módulo $latex p$ tiene estructura de cuerpo. Solemos escribir $latex mathbb{F}_p$ para referirnos al cuerpo finito de $latex p$ elementos. En particular, cuando $latex p=2$, tenemos el cuerpo $latex mathbb{F}_2$ con la suma y el producto, que están en correspondencia, desde el […]

Formas invariantes y forma de Killing

Una $latex q$-forma o una forma multilineal $latex Phi$ (una métrica, por ejemplo, es una $latex 2$-forma, una forma bilineal) es invariante si es invariante por la izquierda, o sea, si $latex L_a^* Phi = Phi$ (recordar que $latex L_a$ es un desplazamiento en el grupo $latex G$, $latex (L_a)_*$ es un desplazamiento en el […]

Representaciones lineales de grupos y representación adjunta

Una representación lineal de un grupo $latex G$ es un homomorfismo $latex varphi$ de $latex G$ en el grupo de Lie $latex GL(mathbb{V})$ donde $latex mathbb{V}$ es un espacio vectorial que se puede asociar de manera natural a $latex GL(n,mathbb{K})$ escogiendo una base. Podemos hablar entonces de la acción del grupo $latex G$ sobre el […]

Aplicación exponencial de GL(n,K)

Dado el campo vectorial invariante por la izquierda $latex u(a) = (L_a)_* u$ del grupo de Lie $latex G$, llamamos trayectorias del campo a la soluciones de la ODE: $latex frac{d}{dt}a = u(a)$, y que, fijada una condición inicial $latex a(0) = a$, la trayectoria queda unívocamente determinada en forma de serie exponencial: $latex a(t) […]

Algebra de Lie de GL(n,K)

En el caso de $latex GL(n,mathbb{K})$, un desplazamiento a la izquierda tiene la forma: $latex L_A X = AX$ donde $latex AX$ es el producto de matrices y cuya diferenciación, que es lo que nos interesa, es: $latex (L_A)_* U = AU$ con $latex U in M(n,mathbb{K})$. De esta manera, todo campo vectorial invariante por […]

Álgebra de Lie de un grupo de Lie

Las álgebras de Lie aparecen al estudiar los grupos de Lie compactos, aunque adquieren entidad propia dada su importancia en el estudio de los grupos y sus representaciones. Se utilizan, entre otras cosas, para el análisis de esquemas de ruptura de la simetría gauge, al estudiar el modelo quark de los hadrones, en la reducción […]

Álgebras de Lie

Ya hemos visto que, dado un espacio vectorial, es fácil dotarlo de estructura de variedad diferenciable. Vamos a ver que podemos dotarlo de mas estructura. Sea $latex mathfrak{g}$ un espacio vectorial. Diremos que $latex mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie si tenemos definido un conmutador, o sea, una aplicación bilineal $latex mathfrak{g} times mathfrak{g} rightarrow […]

Los grupos ortogonales y unitarios como grupos de Lie.

En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie. Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una […]

Grupos de Lie en el modelo estándar de la física de partículas

En el post anterior hemos comentado algunos grupos topológicos, que veremos en posteriores entradas que están dotados de mas estructura (grupos de Lie), que son importantes para la física. Introducimos brevemente aquí el modelo estandar de la física de partículas. Concretamente, estaremos interesados en: $latex SU(3) times SU(2) times U(1)$, que hace referencia a las […]

Algunos grupos topológicos importantes en física

Cuando decimos que $latex G$ es un grupo topológico queremos decir que $latex G$, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna $latex .$ asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones $latex f(a,b)=ab$ y $latex g(a)=a^{-1}$ son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo […]

Primer post de vacaciones

Hace una semana y pico que estoy de vacaciones y tenía ésto abandonado. Como me he comprado unos cuantos libros (cinco en total y que me voy a leer estos días :D) de editorial URSS sobre Ciencias Físico-Matemáticas, aprovecharé para meter unos cuantos posts sobre cosas interesantes que vaya leyendo. Son libros típicos de paises […]

Aproximación del campo gravitatorio creado por un sistema de masas puntuales con Chombo

Para empezar, vamos a calcular numéricamente, y en mecánica clásica,  el campo creado por una partícula con masa en el espacio. Si colocamos las fronteras de nuestro dominio $latex Omega in mathbb{R}^3$ lo suficientemente lejos, el cálculo del potencial gravitatorio se reduce a resolver la ecuación de Poisson $latex Delta u(x,y,z) = 4 pi G […]

Experiencias elípticas con Chombo (II)

En el libro de Análisis numérico de Burden y Faires aparecen una serie de ejemplos y ejercicios resueltos de PDEs elípticas en 2D. Vamos a intentar resolverlos utilizando Chombo… La primera ecuación corresponde con un ejemplo y es $latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y) = 0$ en $latex Omega = { (x,y): 0<x<0.5, 0<y<0.5}$ y […]

Experiencias elípticas con Chombo

El software Chombo, del Berkeley Lab, combina los métodos en diferencias finitas con las mallas adaptativas (AMR) para resolver, entre otras, PDEs elípticas. Las siguientes imágenes, en 2D y 3D, se han obtenido a partir de su AMRPoisson:

Terry Tao escribiendo sobre… ¡la hipótesis de Riemann!

Sorpresa máxima al abrir hoy el Reader de WordPress: ¡Tao hablando de la hipótesis de Riemann en su blog!. Deja claro al principio del post que simplemente va a poner junto todo lo que se conoce al respecto, sin aportar nada nuevo. ¡Pero es Tao y es la hipótesis de Riemann! ¿Va a quedar sólo […]

El gradiente del kernel

Definimos a los kernels como funciones del tipo: $latex W_{ab}=W(boldsymbol{r}_a – boldsymbol{r}_b,h)$, donde $latex a$ es la partícula en la que está centrada la función y $latex b$ es una partícula dentro del soporte compacto de la función kernel, controlado éste último por $latex h$, la smoothing length (longitud de suavizado). En este post básicamente […]

Condiciones de contorno: desarrollo multipolar vs compactificación

A la hora de resolver las diferentes ecuaciones elípticas CFC tenemos dos posibilidades para fijar las condiciones en la frontera, cada una con sus mas y sus menos. La primera consiste en hacer un desarrollo multipolar de los terminos fuente en armónicos esféricos, de manera que cuantos mas términos consideremos mas cerca podremos colocar la […]

Desacoplamiento de los sistemas para las X^i y beta^i de la discretización en cartesianas de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

En la discretización que hicimos teníamos dos sistemas acoplados, uno para las $latex X^i$ y otro para las $latex beta^i$. Procedemos ahora a desacoplarlos. Para empezar, tomamos la divergencia (plana) del sistema: $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij} S^*_j – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ y, teniendo en cuenta que $latex mathcal{D}$ conmuta con $latex Delta$ […]

Los autómatas celulares de John von Neumann

Hace un tiempo estuve trabajando con autómatas celulares y tengo ganas de compartir algunas cosas interesantes de estos, aunque ahora ando un poco escaso de tiempo… Para empezar a abrir boca, un enlace al artículo original de John von Neumann «Theory of Self-Reproducing Automata» y otros dos a la wikipedia: la definición de lo que […]

Tratando con el infinito: geometría proyectiva y coordenadas homogéneas

«En el plano proyectivo, por ejemplo, todo par de rectas se cruzan en un punto». Esta afirmación resume la esencia de los espacios proyectivos. Se trata de completar los espacios afines con elementos especiales que nos permitirán tratar con el infinito de igual manera que tratamos el resto de elementos del espacio. De esta manera, […]

Tres supertierras en la zona habitable de una estrella cercana

Fantástica noticia desde el ESO (Observatorio Austral Europeo): tres supertierras (planetas con masas superiores a la Tierra pero inferiores a Urano o Neptuno) en la zona habitable (con posibilidad de albergar agua líquida) de una estrella cercana (a una distancia de 22 años luz). Enlazamos el comunicado científico del observatorio y el artículo científico «A […]

El avance de la ciencia hoy en día y como contribuir eficazmente.

En este post ya comenté, por una parte, la aportación de Zhang a la conjetura de los números primos gemelos, y por otra, todo el revuelo que había generado en polymath con el mismísimo Tao a la cabeza. Para volvernos a situar, en esta entrada del blog gaussianos explica de manera sencilla la relación entre […]

Discretización de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

Vamos a discretizar las ecuaciones que comentamos en este post. Para ello, discretizaremos las derivadas de la siguiente manera: $latex partial_x u = frac{u_{i+1,j,k}-u_{i-1,j,k}}{2h_x}$, $latex partial_y u = frac{u_{i,j+1,k}-u_{i,j-1,k}}{2h_y}$, $latex partial_z u = frac{u_{i,j,k+1}-u_{i,j,k-1}}{2h_z}$, $latex partial_{xx} u = frac{u_{i-1,j,k}-2u_{i,j,k}+u_{i+1,j,k}}{h_x^2}$, $latex partial_{yy} u = frac{u_{i,j-1,k}-2u_{i,j,k}+u_{i,j+1,k}}{h_y^2}$, $latex partial_{zz} u = frac{u_{i,j,k-1}-2u_{i,j,k}+u_{i,j,k+1}}{h_z^2}$, $latex partial_{xy} u = frac{u_{i-1,j-1,k}-u_{i+1,j-1,k}-u_{i-1,j+1,k}+u_{i+1,j+1,k}}{4h_xh_y}$, $latex […]

The polymath project, massively collaborative mathematics, y la conjetura de los números primos gemelos

A raiz del post de Tao Online reading seminar for Zhang’s “bounded gaps between primes”, he sabido de la existencia del interesantísimo proyecto polymath. Nacido de la mano del medallista Fields Timothy Gowers, está pensado para la colaboración masiva entre matemáticos. Que promete, parece claro, pues el primer proyecto que se propuso, relacionado con el teorema […]

Dos notas interesantes sobre matemáticas y sus cuatro protagonistas: Goldbach, Helfgott, Erdös y Tao.

No pensaba escribir nada hoy, pero he visto dos cosas que me han llamado la atención y he decidido (re)publicarlas. La primera es que parece ser que el peruano Harald Andrés Helfgott ha demostrado la conjetura débil de Goldbach (los artículos en arxiv son Major arcs for Goldbach’s theorem de hace unos dias, que completa […]

La cara del error…

Hace tiempo que no escribo nada pues estoy intentando terminar un programa que ya va tocando… Para que no se diga, añado a continuación una imagen que he obtenido hace un momento, y que me ha hecho gracia, cuando pintaba el error entre la solución analítica de un problema de Poisson tridimensional y mi solución […]

Dos nuevos exoplanetas rocosos en la zona habitable de su estrella

¡Fascinante! Como siempre, el blog de Francis se hace eco de la noticia y la comenta en detalle con referencias a los artículos técnicos, etc. La estrella es Kepler-62 (recibe este nombre porque es la número 62 en la que misión Kepler ha encontrado un exoplaneta) y los planetas son Kepler-62e y Kepler-62f (para nombrar […]

Generalizaciones de espacios pre-Hilbertianos

Dado un $latex mathbb{K}$-espacio vectorial $latex E$, diremos que la aplicación: $latex B:E times E longrightarrow mathbb{K}$ es un producto escalar si verifica: Fijado $latex y in E$, entonces $latex E longrightarrow mathbb{K} ,:, x mapsto B(x,y)$ es lineal. $latex B(x,y) = bar{B(y,x)}, forall x,y in E$. $latex B(x,y) geq 0, forall x in E$. […]

Flujos de trabajo ramificados en Git

Simplemente enlazo esta página donde habla de como realizar flujos de trabajo aprovechando el poco coste del branching en Git. También puede servir como punto de entrada al libro Pro Git de Scott Chacon. Ayuda mucho a entender el funcionamiento de Git sus explicaciones de como están implementadas internamente estas funcionalidades. Algunas notas interesantes: Git […]

La demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré explicada por Terry Tao

Tiene Terry Tao una explicación en 20 posts de la demostración de la conjetura de Poincaré hecha por Perelman. Enlazo aquí su Lecture 0 que nos puede servir tanto como introducción de los conceptos básicos de la geometría Riemanniana, que hemos tratado anteriormente en unos cuantos posts, como para ir leyendo el resto de posts […]

Elementos de Scrum

Roles Product Owner: es el que sabe como debe ser el producto, por lo que escribe historias de usuario (requisitos funcionales), las ordena por prioridad, las coloca en el product backlog, pone fechas y se encarga de aceptar o rechazar los entregables. Por ejemplo, en kunagi: ScrumMaster: es el encargado de asegurar que los procesos […]

Control de versiones para múltiples equipos ágiles: Git y Scrum

En el siguiente post de Henrik Kniberg comenta como llevar a la práctica los conceptos tratados en los posts sobre Software Configuration Management y Agile Software Development. El siguiente gráfico, del mismo post, resume todo lo tratado en el artículo: A continuación sencillos comentarios interesantes que aparecen en el post: Cada branch (rama), incluso la mainline […]

Lagrangianos, Hamiltonianos y geodésicas en variedades

Leyendo el capítulo dedicado a Lagrangianos y Hamiltonianos del libro de Roger Penrose El camino a la realidad me sorprendió cuando en un momento, después de presentar al Lagrangiano $latex mathcal{L} = mathcal{L}(q^1, ldots, q^n, dot{q}^1, ldots, dot{q}^n )$ como una función, de posiciones generalizadas $latex q^i$ que etiquetan los puntos del espacio de configuración […]

Agile Software Development, Scrum y principios de la OO

El Agile Software Development (desarrollo ágil de software) es un paradigma de la ingenieria del software cuyas principales características son: la idea general es el desarrollo iterativo e incremental minimizando costes. una iteración es el software desarrollado en una unidad de tiempo, entre una y cuatro semanas. cada iteración no agrega mucha funcionalidad pero debe […]

SCM

Seguimos con SCM, con el libro Software Configuration Management Patterns: Effective Teamwork, Practical Integration, desde donde lo dejamos en el último post sobre el tema. Private Workspace ¿Cómo lo hacemos, con una codeline que cambia contínuamente, para realizar progresos sin que nos distraiga este entorno cambiante debido a los que están por debajo de nosotros? […]

Tensor de Riemann, tensor de Ricci y curvatura escalar para un agujero negro de Kerr-Newman

Calculamos la curvatura escalar $latex R$ para la métrica de Kerr-Newman, es decir, para la solución analítica a las ecuaciones de Einstein en presencia de momento y de carga ($latex J neq 0$ y $latex Q neq 0$). La métrica es: $latex g = -frac{J^2+M^2 left(Q^2+r (-2 M+r)right)+J^2 text{Sin}[theta ]^2}{M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta ]^2} dt otimes […]

Representación gráfica en coordenadas cilíndricas de la curvatura escalar para un agujero negro de Kerr con diferentes momentos angulares.

Volvemos a representar los gráficos de este post pero ahora en coordenadas cilíndricas, que tienen mas sentido:

Cálculo del tensor de Riemann, de Ricci y la curvatura escalar para un agujero negro de Kerr

Calcularemos el tensor de Riemann, el de Ricci y la curvatura escalar para la métrica de Kerr correspondiente a un agujero negro en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0, Q=0$), cuya métrica ya utilizamos. A continuación, mostramos nuestras funciones para realizar los calculos automáticamente: tensor de Riemann: tensor de Ricci: curvatura escalar: […]

Operador D’Alambertiano

El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$): $latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$, que, numerando las variables, tenemos: $latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (IV): tensores de Riemann, Ricci, Weyl y curvatura escalar.

Para empezar, empezaremos escribiendo las ecuaciones en coordenadas de cada uno de los elementos que queremos calcular. El tensor de curvatura de Riemann: $latex R^{a}_{bcd} = partial_c Gamma^{a}_{bd} – partial_d Gamma^{a}_{bc} + Gamma^{a}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – Gamma^{a}_{ed} Gamma^{e}_{bc}$, el tensor de Ricci: $latex R_{ab} = R^{c}_{acb} = partial_c Gamma^{c}_{bd} – partial_d Gamma^{c}_{bc} + Gamma^{c}_{ec} Gamma^{e}_{bd} – […]

Cálculo de los símbolos de Christoffel, de la conexión de Levi-Civita y de las geodésicas en un agujero negro de Kerr

Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr. Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es: $latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$. Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding: $latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin […]

Construcción de dos variedades de Riemann no isométricas a partir de la misma variedad diferenciable.

Tomamos el toro $latex mathbb{T}^2$ como variedad diferenciable sobre el que construiremos dos variedades de Riemann no isométricas. Por una parte, si consideramos $latex mathbb{T}^2 = S^1(frac{1}{a^2}) times S^1(frac{1}{b^2})$. Como a $latex S^1(frac{1}{a^2})$ le corresponde la métrica $latex theta_1^2$ y a $latex S^1(frac{1}{b^2})$ le corresponde $latex theta_2^2$, podemos construir una variedad de Riemann con la […]

Expresión en coordenadas de la conexión de Levi-Civita

El teorema de Whitney nos dice que toda variedad diferenciable admite una métrica. La idea es sencilla: como toda variedad $latex M$ admite una inmersión $latex f:M longrightarrow mathbb{R}^m$ en un espacio euclideo de dimensión apropiada $latex m$ entonces $latex f^*h$ es una métrica de Riemann en $latex M$ donde $latex h$ es la métrica […]

Reescritura en cartesianas de la reformulación covariante del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

Ya escribimos al respecto en este post. Aquí lo que haremos es reescribir las expresiones allí introducidas En primer lugar, teniamos:  $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: $latex S_j^* := sqrt{ frac{gamma}{f} } S = psi^6 S_j$, $latex S_j := rho h w^2 v_j$. En el caso de estar […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (II): longitud de una curva sobre la variedad y geodésicas.

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior. Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con $latex g = left( begin{array}{cc} a^2 & 0 \ 0 & a^2 sin^2 theta end{array} right)$ y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (I): primera y segunda forma fundamental, normal y curvatura intrínseca.

Existe un teorema que nos dice que dada una variedad de Riemann $latex M$ conexa, completa y simplemente conexa con curvatura constante $latex k$ es isométrica a: el Espacio Hiperbólico: $latex mathbb{H}^n(k)$ si $latex k<0$, el Espacio Euclídeo: $latex mathbb{R}^n$ si $latex k=0$, la Hipersuperfície Esférica: $latex S^n(k)$ si $latex k>0$. En particular, cuando la […]

Premio Abel para Pierre Deligne

Pierre Deligne es el ganador del Premio Abel de este año 2013: «for seminal contributions to algebraic geometry and for their transformative impact on number theory, representation theory, and related fields” Dos de los blogs que sigo también se hacen eco de la noticia, el de Francisthemulenews y el de Gowers, que de hecho es […]

SCM Pattern Language

Alguna definicion previa (mantendremos la nomenclatura inglesa): Un workspace es un lugar donde el desarrollador tiene todos las entidades que necesita para realizar su tarea. En concreto, puede ser un arbol de directorios en disco en el area de trabajo del desarrollador o una colección de ficheros mantenidad en un espacio abstracto por una herramienta. […]

SCM: Software configuration management

Acabo de conseguir el libro Software Configuration Management Patterns: Effective Teamwork, Practical Integration de Stephen P. Berczuk, Brad Appleton y Kyle Brown en el que se abordan diferentes patrones para la Gestión de Configuración de Software. Además, encontre una presentación de G. Serrano basada en el libro que cubre sobradamente nuestros intereses. En la práctica, […]

Prezi: la presentación desde el esquema

Acabo de descubrir Prezi, un programa que nos permite crear presentaciones online. Por una parte, como acabamos de decir, permite tanto su creación como su exposición sin necesidad de ninguna instalación local. Por otra, el punto mas original, es que nos permite crearla a partir de un único esquema por el que podremos navegar líbremente, […]

GR: calculo tensorial y electrodinámica en SR

En la Lecture III del curso sobre GR de C. Hirata nos comenta, por una parte, operaciones sobre tensores, y por otra, electrodinámica en relatividad especial. La primera operación que define es el producto tensorial. Dados dos tensores $latex A$ y $latex B$ de tipo $latex binom{m}{n}$ y $latex binom{p}{q}$ respectivamente, podemos construir un nuevo […]

GR: operador gradiente, tiempo propio, 4-momento y algebra tensorial

En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente $latex boldsymbol{d}f$ de un campo escalar $latex f$ como una $latex 1$-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y $latex 1-$formas en espacios curvados. La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos […]

GR: vectores, 1-formas, tensores y espacio-tiempo plano

En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un […]

Relatividad General con Christopher Hirata, el Terry Tao de la física

Acabo de «tropezarme» por primera vez con Christopher Hirata. La verdad, no lo conocía. Me han sorprendido muchisimo algunas similitudes entre su vida y la de Terry Tao cambiando, obviamene, las matemáticas por la física. Hirata nace en 1982, Tao en 1975. Hirata gana una medalla de oro en la IPhO en 1996 a los […]

Visualización remota con VisIt

¿Qué tenemos que hacer para visualizar localmente datos compatibles con VisIt que tenemos en algun host? Para empezar, necesitamos tener la misma versión de VisIt instalada tanto local como remotamente. En segundo lugar, necesitamos crear un New Host en Options->Host profiles… y configurar, básicamente, el Remote host name y el Username (nombre completo de la […]

Variedades y métricas

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas […]

Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas. Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que […]

Reescritura de la reformulación del sector elíptico de la aproximación CFC en términos de CoCoNuT

CoCoNuT es un código que permite realizar simulaciones de colapso estelar. Reescribimos las ecuaciones CFC, que son un caso particular de la aproximación FCF haciendo que las $latex h^{ij}$ sean cero, en terminos de las variables que éste utiliza. Empezamos con una auxilar:  $latex Delta X^i = 8 pi f^{ij}S_j^* – frac{1}{3}mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j$ donde: […]

Diagnostic Tools (from A Multigrid Tutorial)

Textualmente del libro: «As with any numerical code, debugging can be the most difficult part of creating a successful program. For multigrid, this situation is exacerbated in two ways. First, the interaction between the various multigrid components are very subtle, and it can be difficult to determine which part of a code is defective. Even […]

La derivación y la integración desde un punto de vista algebraico. Utilización en la teoría cuántica de campos.

Simplemente un reblog de nuestro crack Terry Tao sobre como capturar los conceptos esenciales de la derivación y la integración de manera algebraica para permitir su utilización sobre otros sistemas numéricos distintos de aquellos que soportan el concepto de límite, o sea, los reales y los complejos. Posteriormente comenta como puede utilizar éstas cuando trabaja […]

PDE de tipo Poisson con solución analítica

Una manera sencilla de tener una ecuación de Poisson en $latex 3D$ de la que conocer su solución analítica es la siguiente. Para empezar, consideramos una función: $latex u(x,y,z)$ a la que le aplicamos el operador $latex Delta$ y obtendremos otra función: $latex s(x,y,z)$. Ya tenemos $latex Delta u = s$, es decir, $latex frac{partial^2}{partial […]