Operador D’Alambertiano

El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$): $latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$, que, numerando las variables, tenemos: $latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

GR: vectores, 1-formas, tensores y espacio-tiempo plano

En su Lecture I nos habla de vectores, $latex 1$-formas, tensores y espacio-tiempos planos. Para empezar, un vector, a diferencia de un escalar, no solo tiene magnitud sino tambien dirección y sentido. En un contexto mas abstracto, son los elementos de un espacio vectorial fínito $latex V$ (en realidad, un espacio euclideo, es decir, un […]

Variedades y métricas

Cuando especificamos una variedad de Riemann escribimos $latex (M,g)$, donde $latex M$ es una variedad diferencial abstracta y $latex g$ es la métrica, una generalización de la primera forma fundamental de las superficies, un tensor. ¿Determina la métrica una variedad? Obviamente no, ya que podemos hablar de variedades (cartas, coordenadas, fibrados tangentes y cotangentes, teoremas […]

Conexiones, derivación covariante, métricas y conexión de Levi-Civita

Se pueden pensar las geodésicas de una variedad $latex M$ como curvas $latex gamma$ que minimizan distancias o como curvas de aceleración nulas. Como la segunda opción, su definición en función de segundas derivadas, resulta mas operativa, y las derivadas direccionales ($latex D_{vec{v}} Y$ , que podemos ver como $latex (nabla Y) cdot vec{v}$, que […]

El metric solver

Como ya comentamos, de la tesis de Bauswein, adoptando la foliación $latex 3+1$ del espacio-tiempo la métrica queda: $latex ds^2 = (- alpha^2 + beta_i beta^i) dt^2 + 2 beta_i dx^i dt + gamma_{ij} dx^i dx^j$ En la aproximación CFC resolvemos repetidamente el problema de valor inicial. De acuerdo con esta aproximación, la parte espacial […]

SPH y Relatividad Especial

En [Monaghan 1992] comenta el caso del método SPH en relatividad especial. Para empezar asumimos que el fluido está constituido por bariones, por lo que el tensor de energia-momento es: $latex T^{mu nu} = (n m_0 c^2 + n tau + P) U^mu U^nu + P g^{mu nu}$ donde los indices griegos van de $latex 0$ […]