Derivada covariante en esféricas normalizadas de un vector

En el siguiente vector, calculado mediante una función escrita en Mathematica, tenemos: $latex (mathcal{D}_r T^r, mathcal{D}_r T^theta, mathcal{D}_r T^varphi, mathcal{D}_theta T^r, mathcal{D}_theta T^theta, mathcal{D}_theta T^varphi, mathcal{D}_varphi T^r, mathcal{D}_varphi T^theta, mathcal{D}_varphi T^varphi)^T=$

Lógica modal, teorema de Löb i teorema de incompletitud de Gödel

A partir de una interesante conversación en el trabajo con el Dr. Petar Mimica, me he visto en la necesidad de repasar algunos conceptos interesantes de las asignaturas que cursé en el área de informática teórica. El primero de ellos és el de la lógica modal. Las lógicas tradicionales son la proposicional, o de orden […]

Derivada covariante y conexiones (afines)

Una conexión afín (o derivación covariante) permite La derivada covariante del campo vectorial queda: donde el primer sumando corresponde a la derivada parcial del campo respecto de la base y la segunda a la variación de la propia base curvilínea respecto de las lineas coordenadas. Aunque la formula anterior corresponde a la derivada covariante de […]

Correcciones en las últimas entradas: cambios de coordenadas como cartas.

Repasando las ultimas entradas en las que realizaba cambios de variables, me he dado cuenta que, en algunos casos, aunque desde el punto de vista de los cambios de coordenadas dados, los Laplacianos son correctos, en realidad los referentes a compactificaciones no corresponden a éstas sino a sus inversas… 🙁 A ver si me explico. […]

Diferencias finitas de Laplacianos en coordenadas curvilineas ortogonales

Supongamos que tenemos el Laplaciano expresado en un sistema de coordenadas curvilineas cualesquiera: $latex bigg [ c_1 frac{partial^2}{partial x_1^2} + c_2 frac{partial}{partial x_1} +c_3 frac{partial^2}{partial x_2^2} + c_4 frac{partial}{partial x_2} + c_5 frac{partial^2}{partial x_3^2} + c_6 frac{partial}{partial x_3} bigg ] u(x_1,x_2,x_3)$. La expresión correspondiente en diferencias finitas, utilizando las aproximaciones para las primeras y segundas […]

Cálculo automático del Laplaciano para posibles compactificaciones en esféricas

He escrito una función en Mathematica a la que le pasamos el cambio de coordenadas que queremos hacer, junto con el nombre de las variables, y nos devuelve una lista de los coeficientes que acompañan a cada una de las derivadas del Laplaciano, es decir, los seis elementos de la lista $latex { c_1, c_2, […]

Operador Laplaciano en coordenadas ortogonales compactificadas

Vamos a compactificar el operador Laplaciano en coordenadas esféricas y en coordenadas cartesianas: $latex (bar{r}, theta, varphi) longrightarrow (r,theta,varphi) longrightarrow (x,y,z)$ $latex phi(bar{r},theta,varphi) = (frac{bar{r}}{bar{r}+a} sin theta cos varphi, frac{bar{r}}{bar{r}+a} sin theta sin varphi, frac{bar{r}}{bar{r}+a} cos theta)$ de manera que, con la formula ya vista en este post, nos queda: $latex (bar{r}+a)^2 bigg [ frac{(bar{r}+a)^2}{a^2} […]

Posibles compactificaciones

Gracias a la mágia de los infinitos (tenemos tantos puntos en $latex (a,infty)$ como en $latex (a,b)$, por ejemplo) podemos compactificar variedades. A continuación aparecen algunas gráficas de posibles cambios de variables para la compactificación de $latex [0,infty)$ en $latex [0,1]$: $latex bar{r} = frac{r}{r+a}$ o $latex (-infty,infty)$ en $latex [-1,1]$: $latex bar{x} = frac{2}{pi} […]

Operador Laplaciano en coordenadas curvilíneas

El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es: $latex Delta u = frac{partial^2}{partial x^2} u + frac{partial^2}{partial y^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u = frac{partial^2}{(partial x^i)^2} u$. ¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que $latex x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i)$, $latex y=y(q^i)$, $latex z = z(q^i)$ cualesquiera? Pues despues de un poco […]

Funciones booleanas y puertas lógicas

Podemos pensar las funciones como una especie de entidades que a partir de unas entradas nos generan unas salidas. Por ejemplo, en matemáticas la función $latex f(x)=2x$ recibe un número real como entrada y nos devuelve el doble de ese número como salida. Así pues, tenemos que para definir una función necesitamos un conjunto al […]

Reflexiones sobre el futuro del blog

Llegados a este punto, y visto que sigue creciendo el número de visitas, sería interesante no solo escribir sobre las cosas en las que actualmente estoy trabajando (más o menos) sino también sobre aquellas de las que creo que se 🙂 Obviamente, las áreas que mas conozco son las que se corresponden con mis estudios […]

Teselación de Voronoi tridimensional de un conjunto de partículas en movimiento.

A mi casi-código SPH le he añadido la libreria Voro++ de Chris Rycroft y ésta va calculando las correspondientes teselaciones de Voronoi tridimensionales correspondientes a las partículas siguiendo movimientos pendulares (sobre planos z=cte) . Pulsar sobre la imagen para empezar la animación.