Laplaciano"/>

Operador Laplaciano en coordenadas curvilíneas

El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es: $latex Delta u = frac{partial^2}{partial x^2} u + frac{partial^2}{partial y^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u = frac{partial^2}{(partial x^i)^2} u$. ¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que $latex x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i)$, $latex y=y(q^i)$, $latex z = z(q^i)$ cualesquiera? Pues despues de un poco […]

Reescritura del Laplaciano nd en diferencias finitas mediante el 1d con fuentes de las (n-1)d restantes

Laplaciano en cartesianas: $latex Delta u = Sigma_i frac{partial^2}{partial x_i^2}u$ 1d $latex frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} = f_i $ $latex frac{1}{h^2}u_{i-1} + frac{1}{h^2}u_{i+1} +frac{-2}{h^2}u_i= f_i$ 2d $latex frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h_x^2} + frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{h_y^2} = f_{i,j}$ $latex i$ fijo: $latex frac{1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{1}{h_y^2}u_{i,j+1} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{-1}{h_x^2}u_{i+1,j})$ $latex j$ fijo: $latex frac{1}{h_x^2}u_{i-1,j} + frac{1}{h_x^2}u_{i+1,j} +(frac{-2}{h_x^2}+frac{-2}{h_y^2})u_{i,j}= g_{i,j}(:=f_{i,j} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j-1} + frac{-1}{h_y^2}u_{i,j+1})$ […]

Operador D’Alambertiano

El operador D’Alambartiano generaliza el Laplaciano a cualquier métrica. Por ejemplo, en cartesianas en Minkowski con signatura $latex (-,+,+,+)$ tendríamos ($latex c=1$): $latex square = -partial_{tt} + partial_{xx} + partial_{yy} + partial_{zz} = -partial_{tt} + nabla$, que, numerando las variables, tenemos: $latex square = partial^alpha partial_alpha = g^{alpha beta} partial_beta partial_alpha$.

Operador Laplaciano n-dimensional. Discretización y fronteras mediante tensores.

En $latex n$ dimensiones, el operador Laplaciano queda como: $latex Delta u= sum_{i=1}^n frac{partial^2}{partial x_i^2}u$ en coordenadas cartesianas, y como: $latex Delta u = frac{partial}{partial r^2}u + frac{n-1}{r}frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2}Delta_{S^{n-1}}u$ en esféricas, donde $latex Delta_{S^{n-1}}$ es el operador de Laplace-Beltrami, una generalización del Laplaciano para funciones definidas sobre variedades,  en la $latex (n-1)$-esfera ($latex […]