1 febrero, 2013

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A ver si nos aclaramos sobre como van las condiciones frontera en las transiciones entre mallas…

Empezamos en $latex 1D$. Tenemos $latex Delta u = f$, o lo que es lo mismo, $latex u_{xx} = f$ (en este caso es una ODE pero bueno…) definida en $latex [a,b]$ con $latex u(a) = u_a$ y $latex u(b) = u_b$. Vamos a suponer una discretización en una malla con $latex n+1$ nodos con $latex u_i$ con $latex i=1..(n-1)$ puntos interiores y $latex u_0 = u_a$ y $latex u_n = u_b$. En la discretización tenemos:

$latex frac{u_{i-1} -2u_i + u_{i+1}}{h^2} = f_i$ donde $latex h = frac{1}{n}$.

Si escribimos todas las ecuaciones para todos los puntos interiores (si $latex n=8$ entonces $latex i=1..7$) tenemos :

$latex frac{u_0 -2u_1 + u_2}{h^2} = f_1$ para $latex i=1$,

$latex frac{u_1 -2u_2 + u_3}{h^2} = f_2$ para $latex i=2$,

$latex frac{u_2 -2u_3 + u_4}{h^2} = f_3$ para $latex i=3$,

$latex frac{u_3 -2u_4 + u_5}{h^2} = f_4$ para $latex i=4$,

$latex frac{u_4 -2u_5 + u_6}{h^2} = f_5$ para $latex i=5$,

$latex frac{u_5 -2u_6 + u_7}{h^2} = f_6$ para $latex i=6$,

$latex frac{u_6 -2u_7 + u_8}{h^2} = f_7$ para $latex i=7$,

que en forma matricial y despejando $latex u_0$ y $latex u_8$ que son conocidos queda:

$latex frac{1}{h^2} begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 end{bmatrix} begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \ u_4 \ u_5 \ u_6 \u_7 end{bmatrix} = begin{bmatrix} f_1 – frac{u_0}{h^2} \ f_2 \ f_3 \f_4 \ f_5 \ f_6 \ f_7 – frac{u_8}{h^2}end{bmatrix}$.

Cuando pasamos a una malla de $latex n=4$ tenemos que la matriz es $latex 3 times 3$ y tiene la misma estructura pero con $latex frac{1}{(2h)^2}$. En este caso, si restringimos la $latex vec{f}$  nos queda:

$latex frac{1}{4} begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} f_1 – frac{u_0}{h^2} \ f_2 \ f_3 \ f_4 \ f_5 \ f_6 \ f_7 – frac{u_8}{h^2} end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{f_1 – frac{u_0}{h^2} +2 f_2 + f_3}{4} \ frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \ frac{f_5 + 2 f_6 + f7 – frac{u_8}{h^2}}{4}end{bmatrix}$.

¿Qué pasa en este caso si restringimos por separado las fuentes y los valores en la frontera? Por un lado tenemos:

$latex frac{1}{4} begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} f_1 \ f_2 \ f_3 \ f_4 \ f_5 \ f_6 \ f_7 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} \ frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \ frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4}end{bmatrix}$,

y por otro, como $latex u_0$ y $latex u_8$ no cambian, al despejar nos quedan $latex -frac{u_0}{(2h)^2}$ y $latex -frac{u_8}{(2h)^2}$, por lo que tenemos:

$latex begin{bmatrix} frac{f_1 +2 f_2 + f_3}{4} – frac{u_0}{(2h)^2} \ frac{f_3+2 f_4 + f_5}{4} \ frac{f_5 + 2 f_6 + f7 }{4} – frac{u_8}{(2h)^2} end{bmatrix}$,

que es equivalente a lo encontrado anteriormente.

¿Que pasará en $latex 2D$? Vamos a verlo. Tenemos ahora:

$latex Delta u = f$

como:

$latex frac{partial^2}{partial x^2} u(x,y) + frac{partial^2}{partial y^2} u(x,y) = f(x.y)$.

Suponemos $latex n=8$. Por un lado tenemos que las fuentes menos las fronteras nos da:

$latex begin{bmatrix} f_{1,1}-frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2} & f_{1,2}-frac{u_{0,2}}{h^2} & f_{1,3}-frac{u_{0,3}}{h^2} & f_{1,4}-frac{u_{0,4}}{h^2} & f_{1,5}-frac{u_{0,5}}{h^2} & f_{1,6}-frac{u_{0,6}}{h^2} & f_{1,7}-frac{u_{1,8}+u_{0,7}}{h^2} \ f_{2,1}-frac{u_{2,0}}{h^2} & f_{2,2} & f_{2,3} & f_{2,4} & f_{2,5} & f_{2,6} & f_{2,7}-frac{u_{2,8}}{h^2} \ f_{3,1}-frac{u_{3,0}}{h^2} & f_{3,2} & f_{3,3} & f_{3,4} & f_{3,5} & f_{3,6} & f_{3,7}-frac{u_{3,8}}{h^2} \ f_{4,1}-frac{u_{4,0}}{h^2} & f_{4,2} & f_{4,3} & f_{4,4} & f_{4,5} & f_{4,6} & f_{4,7}-frac{u_{4,8}}{h^2} \ f_{5,1}-frac{u_{5,0}}{h^2} & f_{5,2} & f_{5,3} & f_{5,4} & f_{5,5} & f_{5,6} & f_{5,7}-frac{u_{5,8}}{h^2} \ f_{6,1}-frac{u_{6,0}}{h^2} & f_{6,2} & f_{6,3} & f_{6,4} & f_{6,5} & f_{6,6} & f_{6,7}-frac{u_{6,8}}{h^2} \ f_{7,1}-frac{u_{7,0}+u_{8,1}}{h^2} & f_{7,2}-frac{u_{8,2}}{h^2} & f_{7,3}-frac{u_{8,3}}{h^2} & f_{7,4}-frac{u_{8,4}}{h^2} & f_{7,5}-frac{u_{8,5}}{h^2} & f_{7,6}-frac{u_{8,6}}{h^2} & f_{7,7}-frac{u_{8,7}+u_{7,8}}{h^2} end{bmatrix}$.

Vamos a calcular uno a uno los elementos de la nueva malla mediante los dos métodos (restricción directa sobre la matriz anterior o restricción sobre las fronteras)  ya que con que salga alguno distinto ya podremos concluir su no equivalencia. Empezamos:

$latex frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = frac{1}{16} [ f_{1,1}-frac{u_{1,0}+u_{0,1}}{h^2}+f_{1,3}-frac{u_{0,3}}{h^2}+f_{3,1}-frac{u_{3,0}}{h^2}+f_{3,3} + $

$latex + 2(f_{1,2}-frac{u_{0,2}}{h^2} + f_{2,1}-frac{u_{2,0}}{h^2} +f_{2,3} + f_{4,2} ) + 4 f_{2,2} ]$

Si primero aplicamos la restricción a las fronteras nos quedan:

$latex begin{bmatrix} frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3}}{4} & frac{u_{0,3} + 2u_{0,4} + u_{0,5}}{4} & frac{u_{0,5} + 2u_{0,6} + u_{0,7}}{4} end{bmatrix}$,

$latex begin{bmatrix} frac{u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{4} \ frac{u_{3,0} + 2u_{4,0} + u_{5,0}}{4} \ frac{u_{5,0} + 2u_{6,0} + u_{7,0}}{4} end{bmatrix}$ $latex ,,,,,,,$ $latex begin{bmatrix} frac{u_{1,8} + 2u_{2,8} + u_{3,8}}{4} \ frac{u_{3,8} + 2u_{4,8} + u_{5,8}}{4} \ frac{u_{5,8} + 2u_{6,8} + u_{7,8}}{4} end{bmatrix}$

$latex frac{1}{4}begin{bmatrix} u_{8,1} + 2u_{8,2} + u_{8,3} & u_{8,3} + 2u_{8,4} + u_{8,5} & u_{8,5} + 2u_{8,6} + u_{8,7} end{bmatrix}$,

y al calcular el primer término:

$latex frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} + 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ]$

que combinado con las fronteras, tenemos:

$latex frac{u_{1,2}^{2h}+u_{2,1}^{2h}-4u_{1,1}^{2h}}{(2h)^2} = frac{1}{16} [ f_{1,1} + f_{1,3} + f_{3,1} + f_{3,3} +$

$latex + 2(f_{1,2} + f_{2,1} + f_{2,3} + f_{4,2}) + 4 f_{2,2} ] – $

$latex – frac{1}{4}frac{u_{0,1} + 2u_{0,2} + u_{0,3} + u_{1,0} + 2u_{2,0} + u_{3,0}}{(2h)^2}$

y que es lo mismo que habíamos obtenido…