4-velocidad

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En su Lecture II, Christopher empieza hablando del gradiente $latex boldsymbol{d}f$ de un campo escalar $latex f$ como una $latex 1$-forma (transformable en vector subiendo un índice) importante que nos permitirá definir bases de vectores y $latex 1-$formas en espacios curvados.

La explicación está bastante clara y lo que hace es traducir lo que nos encontrariamos trabajando con variedades a un lenguaje comprensible para aquellos que aun no las conocen, es decir, existe una manera general de construir la diferencial en un punto de una función con dominio en una variedad y los espacios planos con los que estamos trabajando no son mas que casos particulares de variedades donde las cartas son la identidad (podemos pensar $latex mathbb{R}^3$ como una variedad diferenciable con la carta identidad: $latex (mathbb{R}^3,id)$. A partir de ahí podemos construir las variedades tangentes, $latex T_mmathbb{R}^3 cong mathbb{R}^3$, y cotangente y en esta última aparece la diferencial como una $latex 1$-forma).

El resumen es, sean $latex alpha(t)$ una trayectoria y $latex f$ un campo escalar en el espacio plano considerado, entonces podemos construir una función $latex (f circ alpha)(t) = f(alpha(t))$ que, por ser una función de una variable, podemos derivar y evaluar en $latex t=0$:

$latex frac{d}{dt}(f circ alpha)(t)|_{t=0}$,

por lo que podemos escribir:

$latex frac{partial}{partial boldsymbol{v}} f := frac{d}{dt}$ $latex (f circ alpha)(t) = langle boldsymbol{d}f, boldsymbol{v} rangle$

donde $latex boldsymbol{v} = frac{d}{dt}alpha(t)$ y $latex boldsymbol{d}f$ es la $latex 1$-forma diferencial o gradiente de $latex f$.

En un espacio plano se puede escoger un sistema de referencia en el que las coordenadas $latex x^alpha$ son las componentes de vector de posición $latex boldsymbol{x} = x^alpha boldsymbol{e}_alpha$. En este caso:

$latex langle boldsymbol{d}(x^alpha) , boldsymbol{v} rangle = frac{d}{dt}x^alpha = v^alpha$,

por lo que $latex $, formando una base. Definimos $latex boldsymbol{d}(x^alpha) := boldsymbol{omega}^alpha$.

Dada una partícula que sigue una trayectoria $latex boldsymbol{alpha}(t) = x^{alpha}(t)$, podemos parametrizarla mediante el tiempo propio $latex tau$ que es aquel que cumple:

$latex |frac{d}{dtau}boldsymbol{alpha}(tau)|^2 = frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) cdot frac{d}{dtau}x^{alpha}(tau) = -1$.

Siempre podemos reparametrizar haciendo:

$latex frac{d}{dt}tau = sqrt{-frac{d}{dt}alpha(t) cdot frac{d}{dt}alpha(t)}$.

La idea, desde el punto de vista de curvas sobre variedades, es que la parametrización mediante el tiempo propio no es mas que el equivalente a la parametrización por longitud de arco de manera de manera que nos permita medir la longitud de la misma que en este caso corresponde a medir tiempos (lo del reloj propio y estas cosas).

Para tener un invariante Lorentz de la velocidad $latex boldsymbol{v}$ definimos la $latex 4$-velocidad $latex boldsymbol{u}$ como:

$latex boldsymbol{u}:=frac{d}{dtau}alpha(tau)$,

ya que, como acabamos de ver, por construcción tenemos $latex boldsymbol{u} cdot boldsymbol{u} = -1$.

Para un objeto con masa $latex m$ definimos el $latex 4$-momento como $latex boldsymbol{p} = m boldsymbol{v}$, de manera que $latex boldsymbol{p} cdot boldsymbol{p} = -m^2$. La componente temporal $latex p^0$ del $latex 4-$momento es la energía y las componentes espaciales $latex p^i$ son los $latex 3$-momentos.

Finalmente, si hay fuerzas tenemos aceleraciones. La $latex 4$-aceleración $latex boldsymbol{a}$ se define como

$latex boldsymbol{a} = frac{d}{dtau}boldsymbol{v}$ o $latex a^{mu} = frac{d}{dtau}v^{mu}$.

En variedades generales, para que la aceleración tenga sentido, necesitaremos trabajo extra, pues necesitaremos ser capaces de trasladar paralelamente vectores sobre la variedad.

Para finalizar, nos habla de algunos conceptos mas de algebra tensorial. En primer lugar define un tensor $latex boldsymbol{T}$ de tipo $latex binom{m}{n}$ como un operador lineal que actua sobre $latex m$ $latex 1$-formas y $latex n$ vectores y nos devuelve un escalar:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{tilde{k}},ldots, boldsymbol{tilde{l}}, boldsymbol{u},ldots, boldsymbol{v})$

y que, fijada una referencia, queda determinada por su actuación sobre los elementos de esta base:

$latex boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha_1},ldots,boldsymbol{w}^{alpha_m},boldsymbol{e}_{beta_1},ldots,boldsymbol{e}_{beta_n}) = T^{alpha_1,ldots,alpha_m}_{beta_1,ldots,beta_n}$.

Podemos ver una métrica $latex boldsymbol{g}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{2}$, o $latex 2$ veces covariante, pues actua sobre $latex 2$ vectores y devuelve $latex g_{alpha beta}u^{alpha}v^{beta}$. Podemos pensar una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ como un tensor de tipo $latex binom{0}{1}$, o $latex 1$ vez covariante, pues a partir de un vector $latex boldsymbol{v}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}},boldsymbol{v}rangle$. Sus componentes son $latex tilde{k}_{alpha}$. Por el contrario, podemos pensar un vector $latex boldsymbol{v}$ como un tensor de tipo $latex binom{1}{0}$, o $latex 1$ vez contravariante, pues a partir de una $latex 1$-forma $latex boldsymbol{tilde{k}}$ nos devuelve el escalar $latex langle boldsymbol{tilde{k}}, boldsymbol{v} rangle$. Las componentes de $latex boldsymbol{v}$ son $latex v^{alpha} = langle boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{v} rangle$.

Finalmente, es útil recordar que, por una parte, los tensores de tipo $latex binom{m}{n}$ no necesitan de las métricas para existir y, por otra, que en el caso de existir, entonces gracias a ésta, todos los tensores de rango $latex m+n$ son equivalentes entre si, es decir, el mismo tensor lo podemos escribir de $latex 2^{m+n}$ maneras en función de donde aparece cada índice, si arriba o abajo, contravariante o covariante. Por ejemplo, si $latex T$ es un tensor de tipo $latex binom{1}{2}$ podemos transformalo a uno de tipo $latex binom{0}{3}$ de la siguiente manera:

$latex T^{alpha}_{beta gamma} = boldsymbol{T}(boldsymbol{w}^{alpha},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = boldsymbol{T}(g^{delta alpha}boldsymbol{e}_{delta},boldsymbol{e}_{beta},boldsymbol{e}_{gamma}) = g^{delta alpha} boldsymbol{T}(boldsymbol{e}_delta,boldsymbol{e}_beta,boldsymbol{e}_gamma) = g^{delta alpha}T_{delta beta gamma}$.

Desde la geometria diferencial y Riemanniana, subir y bajar índices equivale a construir el isomorfismo musical, $latex sharp$ y $latex flat$ ,entre el fibrado tangente $latex TM$ y el cotangente $latex T^*M$ de una variedad $latex M$ inducido por una métrica $latex g$. Básicamente son contracciones entre el tensor métrico o el co-tensor métrico con un tensor arbitrario. Permite, por ejemplo, la generalización del gradiente.

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