aproximación C

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Aquí está el artículo donde aparece el nuevo esquema en el que el sistema se desacopla de manera jerárquica:

(1) Conocidas las cantidades hidrodinámicas conservadas, resolver:

$latex Delta X^i + frac{1}{3} mathcal{D}^i mathcal{D}_j X^j = 8 pi f^{ij} S_j^*$

para encontrar

$latex hat{A}^{ij} approx (LX)^{ij} = mathcal{D}^i X^j + mathcal{D}^j X^i – frac{2}{3} mathcal{D}_k X^k f^{ij}$.

(2) Resolver la ecuación:

$latex Delta psi = -2 pi psi^{-1} E^{*} – psi^{-7} frac{ f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} }{8}$

para encontrar $latex psi$, donde la unicidad local ahora esta garantizada. Podemos calcular $latex S^*$ de manear consistente.

(3) Resolver la ecuación:

$latex Delta(psi N) = 2 pi N psi^{-1} (E^* + 2 S^*) + N psi^{-7} frac{7 f_{il} f_{jm} hat{A}^{lm} hat{A}^{ij} }{8}$

para $latex N psi$, una ecuación lineal donde podemos aplicar el principio del máximo con lo que, con las codiciones de contorno apropiadas, se sigue la unicidad y existencia.

(4) Finalmente, resolver:

$latex Delta beta^i + frac{1}{3} mathcal{D}^i ( mathcal{D}_j beta^j ) = D_j( 2 N psi^{-6} hat{A}^{ij} )$

para encontrar $latex beta^i$.

Además, en este otro artículo, presentan una manera de reducir una ecuación elíptica vectorial, un complicado sistema acoplado de PDEs, a un conjunto de ecuaciones Poisson escalares desacopladas. Para el caso del shift, la $latex beta$ anterior, por ejemplo, en coordenadas esféricas, tendríamos:

(1) Resolver ecuación:

$latex Delta mu = mu_S$

que corresponde a la parte toroidal, para la resolución de la parte angular se introducen un potencial poloidal $latex eta$ y  un potencial toroidal $latex mu$ de manera que $latex boldsymbol{beta} = $, y está desacoplada del resto para obtener $latex mu$.

(2) Resolver la también desacoplada ecuación para la divergencia (de $latex boldsymbol{beta}$ respecto de la conexión plana $latex mathcal{D}$):

$latex Delta Theta = frac{3}{4} mathcal{D}_{hat{k}} S(boldsymbol{beta}^{hat{k}})$.

(3) Obtener $latex beta^r$ a partir de una de las siguiente ecuaciones:

(i) $latex frac{partial^2 beta^r}{partial r^2} + frac{4}{r} frac{partial beta^r}{partial r} + frac{2 beta^r}{r^2} + frac{1}{r^2}Delta_{theta varphi} beta^r = S(boldsymbol{beta})^r – frac{1}{3} frac{partial Theta}{partial r} + frac{2}{r} Theta$

(ii) $latex Delta chi = r S(boldsymbol{beta})^r – frac{r}{3} frac{partial Theta}{partial r} + 2 Theta $, donde $latex chi = r beta^r$

(4) Deducir $latex eta$ de una de las siguientes ecuaciones:

(i) $latex Delta_{theta varphi} eta = r Theta – r frac{partial beta^r}{delta r} – 2 beta^r$, que tiene la ventaja de que solo requiere una división por $latex -l (l+1)$ de los coeficientes de la expansión por armónicos esféricos pero la desventaja de que utiliza la derivada radial de $latex beta^r$ que puede tener problemas con el orden.

(ii) $latex Delta eta = eta_S – frac{2 beta^r}{r^2} – frac{1}{3} frac{Theta}{r}$, que requiere la resolución de otra ecuación de Poisson adicional.

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