Navier Stokes

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En las Jornadas sobre los problemas del milenio celebradas en Barcelona del 1 al 3 de junio de 2011, Diego Córdoba dió una charla sobre el problema Clay de las ecuaciones de Navier-Stokes para la que escribió estas notas.

Un fluido es ideal si es incompresible, homogéneo  y perfecto.

La idea del problema consiste en determinar si:

…un fluido incompresible con energía finita puede desarrollar singularidades en tiempo finitos.

Mas formalmente, si consideramos un fluido viscoso ($latex nu > 0$), homogéneo ($latex rho = 1$) e incompresible ($latex nabla cdot u = 0$), tenemos:

$latex u_t + u cdot nabla u = – nabla p + nu Delta u + f$ con $latex nu >0, x in mathbb{R}^3, t geq 0$

$latex nabla cdot u = 0$

$latex u(x,0) = u_0$

donde cada partícula en el tiempo $latex t$ está en la posición $latex x = (x_1,x_2,x_3)$ del dominio que ocupa el fluido $latex Omega subset mathbb{R}^3$, $latex u(x,t) = (u_1(x,t), u_2(x,t), u_3(x,t))$ es el campo de velocidades, $latex p = p(x,t)$ son las presiones en el seno del fluido y $latex rho = rho(x,t)$ es la densidad. Además, $latex nu = cte geq 0$ es la viscosidad y $latex f$ la fuerza externa.

La fuerza exterior  debe verificar:

$latex |partial_x^alphapartial_t^m f| leq C_{alpha,k,m}(1+|x|+t)^{-k}$ para todo $latex alpha, k, m > 0$

y el dato inicial las siguientes condiciones de regularidad:

$latex |partial_x^alpha u_{0i}| leq C_{alpha,k}(1+|x|)^{-k}$ para todo $latex alpha, k > 0$

Las soluciones $latex (u,p)$ admisibles para $latex x in mathbb{R}^3$ estan o en $latex C^{infty}(mathbb{R}^3 times [0,infty))$ con decaimiento en el infinito de la presión y de energía finita, es decir, $latex int_{mathbb{R}^3} |u|^2 dx < infty$ para todo $latex t$, o estan en $latex C^{infty}(mathbb{T}^3 times [0,infty))$ periódicas y la presión de media cero.

Sea $latex u_0$ satisfaciendo las condiciones de regularidad. El problema del Instituto Clay consiste, entonces, en determinar si siempre existen soluciones admisibles para $latex u_0$ o si existe algún caso en que no.

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La hidrodinámica (HD) es la parte de la física que estudia la dinámica de los fluidos tanto incompresibles, los líquidos, como compresibles, los gases o los líquidos a alta presión (de hecho, todos los fluidos son compresibles, siendo la incompresibilidad una aproximación para simplificar las ecuaciones que describen su dinámica).

La magnetohidrodinámica (MHD) estudia la dinámica de fluidos conductores de electricidad en presencia de campos electromagnéticos. El conjunto de ecuaciones que describen la MHD son una combinación de las ecuaciones de Navier Stokes de la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo que deben ser resueltas simultaneamente.

Cuando tenemos flujos a velocidades cercanas a la velocidad de la luz entonces hablamos de hidrodinámica en relatividad especial (SRHD) y magnetohidrodinámica en relatividad especial (SRMHD).

Finalmente, cuando el fluido está en presencia de fuertes campos gravitatorios, como por ejemplo en presencia de objetos compactos, hablamos de hidrodinámica y magnetohidrodinámica en relatividad general (GRHD y GRMHD).

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