rama logaritmo

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Definición (Función exponencial): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos:

$latex exp(z) = e^z := sum_{n geq 0} frac{z^n}{n!} in C^infty(mathbb{C})$.

Propiedades: Es sencillo verificar que $latex (e^z)’ = e^z$, $latex e^{z+w} = e^z e^w$ y $latex e^z neq 0, e^{-z} = frac{1}{e^z}$. Además:

$latex e^z = 1 Leftrightarrow z = 2pi n i$ con $latex n in mathbb{N}$.

Por lo que la función exponencial compleja es periódica de periodo imaginario $latex 2pi$.

Definición (Funciones trigonométricas e hiperbólicas): Sea $latex z in mathbb{C}$, definimos:

$latex sin(z):=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$, por lo que $latex sin(z) = sum_{n geq 0} (-1)^n frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$latex cos(z):=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, por lo que $latex cos(z) = sum_{n geq 0} (-1)^n frac{z^{2n}}{(2n)!}$

$latex sinh(z):=frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$ y $latex cosh(z):=frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

Propiedades: Las funciones trigonométricas y las hiperbólicas son holomorfas y de clase $latex C^infty(mathbb{C})$. Además, se cumple:

$latex sin(z pm w) = sin(z) cos(w) pm cos(z) sin(w)$,

$latex cos(z pm w) = cos(z) cos(w) mp sin(z) sin(w)$,

$latex sinh(z pm w) = sinh(z) cosh(w) pm cosh(z) sinh(w)$,

$latex cosh(z pm w) = cosh(z) cosh(w) pm sinh(z) sinh(w)$.

Además, $latex sin^2 z + cos^2 z = 1$, son $latex 2pi$-periódicas, $latex sin(z) = 0 Leftrightarrow z = n pi$ y $latex cos(z)=0 Leftrightarrow z = frac{pi}{2} + n pi$ con $latex n in mathbb{N}$.

Definición (Argumento): Sea $latex z in mathbb{C} – { 0}$, diremos que $latex alpha$ es un argumento de $latex z$ si $latex z = |z|(cos alpha + i sin alpha)$. Definimos:

$latex arg z := { alpha in mathbb{R}: z=|z|(cos alpha + i sin alpha)}$,

y si $latex alpha_0 in arg z$ entonces:

$latex arg z := { alpha_0 + 2 pi n : n in mathbb{Z} }$.

Definición (Logaritmo y ramas del logaritmo): Sea $latex z in mathbb{C}-{0}$. Diremos que $latex w in mathbb{C}$ es un logaritmo de $latex z$ si $latex e^w = z$. Así pues, definiremos:

$latex log z := { w in mathbb{C}: e^w = z}$.

Además, si $latex w=x+iy$ entonces $latex w = log z = ln |z| + i arg z$

Definición: Sea $latex alpha in mathbb{R}$ y $latex H_alpha={ -r(cos alpha + i sin alpha): r geq 0 }$. Definimos $latex arg_alpha: mathbb{C} – H_alpha longrightarrow ]alpha – pi, alpha + pi[$ como el único argumento de $latex z$ en el intervalo $latex ]alpha – pi, alpha + pi[$.

Definición: Sea $latex alpha in mathbb{R}$ y $latex H_alpha = { -r (cos alpha + i sin alpha): r geq 0 }$. Entonces:

$latex log_alpha: mathbb{C} – H_alpha longrightarrow mathbb{C} / z mapsto log_alpha(z) = ln |z| + i arg_alpha z$

Teorema: La función $latex log_alpha$ es derivable en $latex mathbb{C} – H_alpha$ y la derivada es $latex (log_alpha z)’ = frac {1}{z}$. Además, $latex log_0 (1+z) = sum_{n geq o} (-1)^n frac{z^{n+1}}{n+1}$ donde $latex log_0$ es el logaritmo principal ($latex alpha = 0$ y $latex H_0 = { -r: r geq 0 }$ ). El logaritmo no se puede extender continuamente.

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