solución analítica

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Una manera sencilla de tener una ecuación de Poisson en $latex 3D$ de la que conocer su solución analítica es la siguiente. Para empezar, consideramos una función:

$latex u(x,y,z)$

a la que le aplicamos el operador $latex Delta$ y obtendremos otra función:

$latex s(x,y,z)$.

Ya tenemos $latex Delta u = s$, es decir,

$latex frac{partial^2}{partial x^2}u(x,y,z) + frac{partial^2}{partial y^2}u(x,y,z) + frac{partial^2}{partial z^2}u(x,y,z) = s(x,y,z)$

Para las condiciones de contorno es tan sencillo como considerar el domino:

$latex [a,b] times [c,d] times [e,f]$

y ver cuanto vale $latex u$ en cada uno de los extremos, de manera que obtenemos:

$latex u(a,y,z) = g_a(y,z), u(b,y,z) = g_b(y,z)$,

$latex u(x,c,z) = g_c(x,z), u(x,d,z) = g_d(x,z)$,

$latex u(x,y,e) = g_e(x,y), u(x,y,f) = g_f(x,y)$.

Por ejemplo, si consideramos $latex u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, entonces:

$latex nabla cdot nabla u = (frac{partial}{partial x},frac{partial}{partial y},frac{partial}{partial z}) cdot (u_x,u_y,u_z)$

de manera que:

$latex Delta u = frac{partial}{partial x}2x + frac{partial}{partial y}2y + frac{partial}{partial z}2z = 6$

y tenemos la ecuación de Poisson $latex Delta u = 6$. Las condiciones de contorno, en $latex Omega = [0,1]^3$ quedan:

$latex u(0,y,z) = g_{xm}(y,z) = y^2+z^2$

$latex u(1,y,z) = g_{xM}(y,z) = y^2+z^2 + 1$

$latex u(x,0,z) = g_{ym}(x,z) = x^2+z^2$

$latex u(x,1,z) = g_{yM}(x,z) = x^2+z^2 + 1$

$latex u(x,y,0) = g_{zm}(x,y) = x^2+y^2$

$latex u(x,y,1) = g_{zM}(x,y) = x^2+y^2 + 1$

Resumiendo, la solución de $latex Delta u = 6$ siendo las funciones anteriores los valores de $latex u$ en $latex partial Omega$ es:

$latex u = x^2+y^2 + z^2$.

Otro ejemplo concreto para el caso de $latex u=0$ en $latex partial Omega$ siendo

$latex Omega = { (x,y,z): 0<x<1, 0<y<1,0<z<1}$ el cubo unidad.

Tomamos $latex u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)$. Es sencillo comprobar que $latex u=0$ en $latex partial Omega$ (p.e. $latex u(1,y,z)=(1-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) = 0$). ¿Cuanto vale $latex Delta u$ en este caso?

$latex s(x,y,z) = Delta [(x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)] = $

$latex = nabla cdot [(4x^3-2x)(y^4-y^2)(z^4-z^2),$

$latex ,(x^4-x^2)(4y^3-2y)(z^4-z^2),$

$latex (x^4-x^2)(y^4-y^2)(4z^3-2z)] = $

$latex = 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +$

$latex + (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) + $

$latex + (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)]$.

De manera que la solución en el cubo unidad de la ecuación de Poisson

$latex u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = $

$latex = 2[(6x^2-1)(y^4-y^2)(z^4-z^2) +$

$latex + (x^4-x^2)(6y^2-1)(z^4-z^2) + $

$latex + (x^4-x^2)(y^4-y^2)(6z^2-1)]$

con condiciones homogeneas de tipo Dirichlet en la frontera tiene como solución:

$latex u(x,y,z) = (x^4-x^2)(y^4-y^2)(z^4-z^2)$

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