Interpolación de Lagrange y formula en diferencias finitas para la aproximación de las derivadas

Dados $latex n+1$ puntos:

$latex (x_0,y_0), ldots, (x_n,y_n)$,

definimos el polinomio interpolador de Lagrange:

$latex L(x) := Sigma_{i=0}^n y_i l_i(x)$

donde:

$latex l_i(x) := Pi_{0 leq j leq n,j neq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$.

Con esto, tenemos:

$latex frac{d^n}{dx^n}L(x) = Sigma_{i=0}^n y_i frac{d^n}{dx^n}l_i(x)$

Supongamos que tenemos $latex n=2$:

$latex (x_0,y_0), (x_1,y_1)$.

En este caso, tenemos:

$latex L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x)$

con:

$latex l_0(x) = frac{x-x_1}{x_0-x_1}$

$latex l_1(x) = frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

Como tenemos dos puntos, únicamente podemos aproximar la primera derivada:

$latex frac{d}{dx} L(x) = y_0 frac{d}{dx} l_0(x) + y_1 frac{d}{dx} l_1(x)$

con:

$latex frac{d}{dx} l_0(x) = frac{1}{x_0-x_1}$

$latex frac{d}{dx} l_1(x) = frac{1}{x_1-x_0}$,

de manera que:

$latex frac{d}{dx}L(x) = frac{y_1 – y_0}{x_1 – x_0}$.

Con esto, tenemos las aproximaciones de primer orden:

$latex u_x(x_0) = u_x(x_1) = frac{y_1 – y_0}{x_1-x_0}$,

que, en índices, queda:

$latex frac{d}{dx}u_i approx frac{u_{i+1}-u_i}{h_x}$,

$latex frac{d}{dx}u_{i+1} approx frac{u_{i+1}-u_i}{h_x}$,

donde $latex h_x = x_1 – x_0$ (y que es lógico, ya que la derivada será una constante).

Supongamos ahora que tenemos tres puntos:

$latex (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$.

En este caso tenemos:

$latex L(x) = y_0 l_0(x) + y_1 l_1(x) + y_2 l_2(x)$,

$latex frac{d}{dx} L(x) = y_0 frac{d}{dx} l_0(x) + y_1 frac{d}{dx} l_1(x) + y_2 frac{d}{dx} l_2(x)$,

$latex frac{d^2}{dx^2} L(x) = y_0 frac{d^2}{dx^2} l_0(x) + y_1 frac{d^2}{dx^2} l_1(x) + y_2 frac{d^2}{dx^2} l_2(x)$.

Ahora tenemos:

$latex l_0(x) = frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = frac{x^2 + (-x_1-x_2)x + x_1x_2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$,

$latex l_1(x) = frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} = frac{x^2 + (-x_0-x_2)x + x_0x_2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$,

$latex l_2(x) = frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = frac{x^2 + (-x_0-x_1)x + x_0x_1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$.

$latex frac{d}{dx} l_0(x) = frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$,

$latex frac{d}{dx} l_1(x) = frac{2x+(-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$,

$latex frac{d}{dx} l_2(x) = frac{2x+(-x_0-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$.

$latex frac{d^2}{dx^2} l_0(x) = frac{2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$,

$latex frac{d^2}{dx^2} l_1(x) = frac{2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$,

$latex frac{d^2}{dx^2} l_2(x) = frac{2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$.

De esta manera, por ejemplo, tenemos que:

$latex frac{d^2}{dx^2}L(x) = y_0 frac{2}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 frac{2}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 frac{2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$,

que, en el caso de tener los puntos equiespaciados ($latex h_x:=x_{i+1}-x_{i}$ con $latex 0 leq i leq 1$), queda la aproximación de segundo orden:

$latex frac{d^2}{dx^2}u(x) = frac{y_0 – 2 y_1 + y_2}{h_x^2}$,

que además, como era de esperar, es independiente de $latex x$:

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i-1} approx frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2}$,

$latex frac{d^2}{dx^2}u_i approx frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2}$,

$latex frac{d^2}{dx^2}u_{i+1} approx frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h_x^2}$.

¿Qué pasa con la primera derivada? En este caso, el resultado si que depende de $latex x$ (por lo que tendremos un resultado diferente en función de si la $latex x$ vale $latex x_0$, $latex x_1$ o $latex x_2$) y lo que obtenemos es:

$latex frac{d}{dx} L(x) = y_0 frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 frac{2x + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 frac{2x + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$,

por lo que:

$latex frac{d}{dx} L(x_0) = y_0 frac{2x_0 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 frac{2x_0 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 frac{2x_0 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$

$latex frac{d}{dx} L(x_1) = y_0 frac{2x_1 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 frac{2x_1 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 frac{2x_1 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$

$latex frac{d}{dx} L(x_2) = y_0 frac{2x_2 + (-x_1-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 frac{2x_2 + (-x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 frac{2x_2 + (-x_1-x_2)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$,

que, con equiespaciado, quedan:

$latex L'(x_0) = frac{3 y_0 -4 y_1 + y_2}{2 h_x}$,

$latex L'(x_1) = frac{y_0 -2 y_1 + y_2}{2 h_x}$ y

$latex L'(x_2) = frac{y_0 -4 y_1 + 3 y_2}{2 h_x}$.