grupo unitario

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En este post empezamos a ver algunos grupos topológicos importantes en física. Lo que vamos a hacer ahora es, sencillamente, dotarlos de estructura de grupo de Lie.

Para empezar, dado que todos los grupos ya son topológicos, lo único que necesitamos es que sean una variedad diferenciable. Esto no es complicado ya que, por una parte, $latex mathbb{K}^n$ es una variedad de dimensión $latex n$ y clase $latex C^infty$ con el atlas $latex mathcal{A}$ formado por la única carta $latex mathcal{A} = { id: mathbb{K}^n rightarrow mathbb{K}^n }$, y por otra, por la propiedad que ahora enunciaremos, todo espacio vectorial es una variedad diferenciable:

Sea $latex (M,mathcal{A})$ una variedad diferenciable de dimensión $latex n$ y clase $latex C^k$. Si $latex mathcal{A} = { Phi_alpha: U_alpha rightarrow mathbb{K}^n }_{alpha in I}$ y $latex f: M rightarrow N$ una aplicación biyectiva, entonces $latex (N,mathcal{A}_f)$ es una variedad diferenciable del mismo tipo, donde:

$latex mathcal{A}_f = { (Phi_alpha circ f^{-1}): f(U_alpha) rightarrow mathbb{K}^n }_{alpha in I}$.

Esta propiedad se cumple, en particular, cuando $latex V$ es un espacio vectorial de dimensión $latex n$ y base $latex { u_1, ldots, u_n}$, dado que existe un único isomorfismo lineal $latex f: mathbb{K}^n rightarrow V$ determinado por $latex f(e_i) = u_i$, donde $latex { e_1, ldots, e_n}$ es la base canónica de $latex mathbb{K}^n$.

En resumen, sea $latex M = End_{mathbb{K}^n}(mathbb{K}^n)$ el conjunto de endomorfismos de $latex mathbb{K}^n$ en $latex mathbb{K}^n$, entonces es una variedad diferenciable por ser un espacio vectorial. Además, el grupo general lineal también lo es por ser un subconjunto abierto de $latex M$. Para los grupos ortogonales y unitarios necesitamos una proposición adional que permite construir grupos de Lie a partir de cocientes.

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Cuando decimos que $latex G$ es un grupo topológico queremos decir que $latex G$, además de cumplir con las condiciones de grupo (operación interna $latex .$ asociativa con neutro e inversos) también es un espacio topológico separable y las funciones $latex f(a,b)=ab$ y $latex g(a)=a^{-1}$ son contínuas (por ejemplo, en el primer caso, para todo entorno $latex W$ de $latex c = ab$ existen entornos $latex U$ y $latex V$ con $latex a in U$ y $latex b in V$ tales que $latex UV subset W$ ).

El conjunto $latex GL(n,mathbb{K})$ de todas las matrices regulares de orden $latex n$ con elementos en $latex mathbb{K}$, un cuerpo de característica $latex 0$, es un grupo respecto a la multiplicación de matrices: el grupo lineal general.

Es sencillo comprobar que la matriz identidad $latex I$ es el elemento neutro y que $latex A^{-1}$ es el inverso de $latex A$.

Como los elementos de $latex A = a^{i}_{j}$ los podemos vectorizar, resulta que $latex GL(n,mathbb{K}) subset mathbb{K}^{n^{2}}$ tal que $latex det A neq 0$. Llamaremos topología natural de $latex G$ a la topología inducida por la topología natural de $latex mathbb{K}^{n^2}$:

$latex U_k = { C in GL(n,mathbb{K}): |c^{i}_{j} – a^{i}_{j} < frac{1}{k}| }$

es una base de entornos del elemento $latex A in GL(n,mathbb{K})$.

Finalmente, las aplicaciones $latex f^{i}_{j}(A,B)=a^{i}_{k} b^{k}_{j}$ y $latex g^{i}_{j} = frac{A^{i}_{j}}{det A}$, donde $latex A^{i}_{j}$ son los adjuntos de los elementos $latex a^{i}_{j}$, son contínuas por ser polinomios.

Tomando bases, para cualquier $latex mathbb{K}$ espacio vectorial $latex mathbb{V}$ de dimension $latex n$, podemos identificar $latex GL(mathbb{V})$ con $latex GL(n,mathbb{K})$.

Los grupos lineales son subgrupos cerrados de $latex GL(n,mathbb{K})$ que se distinguen por dejar invariante una forma bilineal $latex Phi$. El grupo seudoortogonal $latex O(p,q)$, el grupo ortogonal $latex O(n)$ y el grupo ortogonal especial $latex SO(n)$, que aparecen cuando $latex mathbb{K}=mathbb{R}$ y el grupo seudounitario $latex U(p,q)$, el grupo unitario $latex U(n)$ y el grupo unitario especial $latex SU(n)$ que lo hacen cuando $latex mathbb{K} = mathbb{C}$.

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