teorema integral cauchy

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El teorema de los residuos es una parte fundamental de la variable compleja y es una generalización del teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex frac{1}{2 pi i} int_gamma frac{f(u)}{u-z}du = f(z) I(gamma,z)$.

demostración:

Teorema integral de Cauchy.

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex int_gamma f(u)du = 0$

demostración:

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex frac{n!}{2 pi i} int_gamma frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du = f^{n)}(z) I(gamma,z)$

demostración:

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