Teorema residuos

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Teorema de Laurent.

Definición (serie de Laurent): Sea $latex z_0 in mathbb{C}$. Una serie de Laurent en $latex z_0$ es formalmente una expresión de la forma:

$latex sum_{n in mathbb{Z}} a_n (z-z_0)^n$ con $latex a_n in mathbb{C}$.

Llamaremos parte analítica a $latex sum_{n=0}^infty a_n (z-z_0)^n$ y parte principal a $latex sum_{n=1}^infty a_n (z-z_0)^{-n}$. Diremos que la serie es convegente en $latex z$ si lo son su parte analítica y su parte principal.

Definición (anillo): Llamaremos anillo centrado en $latex z_0$ de radio menor $latex r$ y radio mayor $latex R$ a:

$latex A(z_0;r,R):= { z in mathbb{C}: r < |z-z_0| < R}$.

En el caso que $latex r=0$ entonces $latex A(z_0;0,R) = D(z_0,R)-{z_0} = D'(z_o,R)$ tenemos un disco perforado. Si $latex r=0 y R=infty$ entonces $latex A(z_o;0,infty) = mathbb{C}-{z_0}$. Finalmente, si $latex r neq 0$ y $latex R = infty$ entonces $latex A(z_0,r,infty = mathbb{C}-overline{D(z_o,r)}$.

Teorema (de Laurent): Si $latex f in mathcal{H}(A(z_0;r,R))$ entonces existe $latex a_n in mathbb{C}$ tal que:

$latex f(z)= sum_{n in mathbb{Z}} a_n(z-z_0)^n$ para todo $z in A(z_0;r,R)$.

demostración:

Clasificación de singularidades aisladas

Teorema de los residuos.

Definición (función meromorfa): Sea $latex f:U-A longrightarrow mathbb{C}$ una función analítica con $latex U subset mathbb{C}$ un abierto y $latex A$ el conjunto de singularidades aisladas de $latex f$. Diremos que $latex f$ es una función meromorfa en $latex U$.

Teorema (de los residuos)

Integrales tipo I, II, III, IV, V i VI

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El teorema de los residuos es una parte fundamental de la variable compleja y es una generalización del teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy.

Fórmula integral de Cauchy

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex frac{1}{2 pi i} int_gamma frac{f(u)}{u-z}du = f(z) I(gamma,z)$.

demostración:

Teorema integral de Cauchy.

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex int_gamma f(u)du = 0$

demostración:

Fórmula integral de Cauchy para las derivadas.

Sean $latex Omega subset mathbb{C}$ un abierto simplemente conexo ($latex I(gamma,z) = 0$ si $latex z notin Omega$), $latex f in mathcal{H}(Omega)$ y $latex gamma$ un ciclo tal que $latex gamma^* subset Omega$. Entonces, para $latex z in Omega-gamma^*$:

$latex frac{n!}{2 pi i} int_gamma frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}}du = f^{n)}(z) I(gamma,z)$

demostración:

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