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Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (III): símbolos de Christoffel y conexión de Levi-Civita.

Calculamos ahora los símbolos de Christoffel de la esfera y de la pseudoesfera. La formula general es: $latex Gamma_{ij}^k = frac{1}{2} g^{rk} { frac{partial}{partial x^j}g_{ir} + frac{partial}{partial x^i}g_{jr} – frac{partial}{partial x^r}g_{ij} }$. Empezamos con la esfera donde teniamos un embedding: $latex f: S^2(frac{1}{a^2}) longrightarrow mathbb{R}^3 ,/, (theta,varphi) mapsto a(cos theta cos varphi, cos theta sin […]

Ejemplos de cálculos tensoriales utilizando superficies de curvatura constante (II): longitud de una curva sobre la variedad y geodésicas.

Sigamos con lo que empezamos en el post anterior. Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con $latex g = left( begin{array}{cc} a^2 & 0 \ 0 & a^2 sin^2 theta end{array} right)$ y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión […]