geodésicas

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Cuando hablamos de soluciones analíticas de las ecuaciones de Einstein hablamos de los agujeros negros estacionarios en rotación y sin carga eléctrica ($latex J neq 0$ y $latex Q = 0$). A esta solución analítica se la conoce  como métrica de Kerr.

Procedemos a buscar calcular los símbolos de Christoffel, la conexión de Levi-Civita y las geodésicas de la métrica de Kerr:

$latex g = – (1-frac{2Mr}{Sigma})dt otimes dt – frac{4aMrsin^2theta}{Sigma}dt tilde{otimes} dvarphi + $

$latex + frac{Sigma}{Delta}dr otimes dr + Sigma dtheta otimes dtheta + (r^2+a^2+frac{2a^2Mrsin^2theta}{Sigma})sin^2theta dvarphi otimes dvarphi$

donde $latex a:=frac{J}{M}$, $latex Delta:= r^2 – 2Mr + a^2$ y $latex Sigma = r^2 + a^2 cos^2 theta$. El agujero negro está rotando en la dirección $latex +varphi$ y el espín está restringido al rango $latex 0 leq frac{a}{M} leq 1$. Notar que recuperamos la métrica de Schwarzschild cuando $latex a=0$.

Modificamos ligeramente el programa que teniamos de manera que nos permita trabajar con metricas sobre variedades en $latex 4$ dimensiones (si el índices ic empieza en ib nos ahorramos los cálculos simétricos):


Simbolos[] := 
For[ia = 1, ia <= 4, ia++, 
  For[ib = 1, ib <= 4, ib++,
    For[ic = 1, ic <= 4, ic++,
      r = 0;
      For[ii = 1, ii <= 4, ii++,
        r = r + 
            FullSimplify[
                         1/2*Inverse[g][[ii]][[ia]]*(
                         D[g[[ii]][[ib]], x[[ic]]] + 
                         D[g[[ii]][[ic]], x[[ib]]] - 
                         D[g[[ib]][[ic]], x[[ii]]])
            ]
      ];
      Print["Gamma[", ia, ",", ib, ",", ic, "] = ", r]
    ]
  ]
]

Introducimos la métrica como siempre:

$latex left(
begin{array}{cccc}
-1+frac{2 M text{x2}}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & -frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} \
0 & frac{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}}{frac{J^2}{M^2}-2 M text{x2}+text{x2}^2} & 0 & 0 \
0 & 0 & text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2} & 0 \
-frac{2 J text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}} & 0 & 0 & text{Sin}[text{x3}]^2 left(frac{J^2}{M^2}+text{x2}^2+frac{2 J^2 text{x2} text{Sin}[text{x3}]^2}{M left(text{x2}^2+frac{J^2 text{Cos}[text{x3}]}{M^2}right)}right)
end{array}
right)$

y en un momento obtenemos:

$latex Gamma^{1}_{alpha beta}$:

Gamma1

$latex Gamma^2_{alpha beta}$:

Gamma2

$latex Gamma^3_{alpha beta}$:

Gamma3

$latex Gamma^4_{alpha beta}$:

Gamma4

Calculamos ahora las ecuaciones de las geodesicas partiendo del hecho de que conocemos los símbolos de Christoffel. Como ya vimos, la ecuación en coordenadas a partir de estos es:

$latex frac{d^2}{dt^2}x^i + Gamma^i_{jk} frac{d}{dt}x^j frac{d}{dt}x^k = 0$.

Si nos fijamos, la estructura es sencilla: una ecuación por cada variable y, en esta, utilizamos los símbolos de Christoffel que la tienen como coordenada contravariante y cada símbolo acompañado del producto de las derivadas primeras de las variables que aparecen como covariantes.

Obviamente, y debido al tamaño de las expresiones, solo vamos a escribir de manera explícita alguna. Así pues, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases} ddot{t} + ldots = 0 \ ddot{r} + ldots = 0 \ ddot{theta} + ldots = 0 \ ddot{varphi} + ldots = 0 end{cases}$

donde, por ejemplo, para $latex theta$ tenemos (algunas expresiones no caben pero al pinchar y arrastrar se ven completas):

$latex ddot{theta} – $

$latex – frac{J^2 M^5 r text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t}^2 + frac{J^2 M^2 text{Sin}[theta]}{2 left(J^2+M^2 r (-2 M+r)right) left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)} dot{r}^2 – frac{J^2 text{Sin}[theta]}{2 M^2 r^2+2 J^2 text{Cos}[theta]} dot{theta}^2 – $

$latex -frac{left(J^2+M^2 r^2right) text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^2 text{Sin}[theta]+4 J^2 M^3 r text{Cos}[theta] left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right) text{Sin}[theta]^3+J^4 M^3 r text{Sin}[theta]^5}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{varphi}^2 + $

$latex + frac{J M^4 r left(4 M^2 r^2 text{Cos}[theta]+J^2 (3+text{Cos}[2 theta])right) text{Sin}[theta]}{left(M^2 r^2+J^2 text{Cos}[theta]right)^3} dot{t} dot{varphi} + frac{r}{r^2+frac{J^2 text{Cos}[theta]}{M^2}} dot{r} dot{theta} = 0$

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Sigamos con lo que empezamos en el post anterior.

Empezamos trabajando ahora suponiedo que, inicialmente, nos dan la variedad de Riemann $latex (S^2(1/a^2),g)$ con

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

y veremos como calcular, a partir de aquí, como encontrar longitudes, áreas, ángulos, la conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica dada, es decir, como realizar la derivación covariante o transporte paralelo, como encontrar las geodésicas, la calcular la curvatura intrínseca, etc.

Para empezar, dada una curva $latex gamma:I longrightarrow M$ diferenciable, $latex forall a,b in I$, $latex a < b$, se define la longitud del segmento de curva $latex alpha$, desde $latex a$ hasta $latex b$, como:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b || gamma’||dt$ con $latex ||gamma’|| = sqrt{g(gamma’,gamma’)}$,

es decir:

$latex L [gamma]_a^b=int_a^b sqrt{g_{ij} gamma’^i gamma’^j} dt$

En este primer caso que nos ocupa, vamos a medir la longitud de medio meridiano, $latex varphi=0$ ,parametrizado sobre la esfera como $latex gamma(theta,0)=a(sin theta, 0, cos theta)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Pero hay que realizar los cálculos de manera intrínseca, por lo que la curva que nos interesa es $latex gamma(theta)=(theta,0)$ con $latex theta in ]0,pi[$. Calculamos $latex dot{gamma}(t) = (1,0)$, de manera que $latex dot{gamma}^1(t) = 1$ y  $latex dot{gamma}^2(t)=0$. Entonces:

$latex L[gamma]_0^{pi} = int_0^{pi} sqrt{sum_{i=0}^1 sum_{j=0}^1 g_{ij} dot{gamma}^i(t) dot{gamma}^j(t)} dt = int_0^{pi} sqrt{ a^2 } dt = a int_0^{pi} dt = a pi$

De la misma manera, para los habitantes de la hiperesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$, pueden medir la longitud de una sección apropiada (recordar que tenemos comportamiento asintótico en $latex 0$ y cambio discontínuo de la normal a la superfície en $latex theta = frac{pi}{2}$) de su meridiano $latex 0$ sabiendo su parametrización en coordenadas $latex (theta, phi)$ sobre la hiperesfera y conociendo la métrica de esta variedad en donde viven:

$latex gamma(theta,varphi) = (theta, 0)$ con $latex theta in ]b,c[$

$latex g = left(
begin{array}{cc}
a^2 cot^2 theta & 0 \
0 & a^2 sin^2 theta
end{array}
right)$

de manera que, procediendo como antes:

$latex L[gamma]_b^c = a int_b^{c} sqrt{cot^2 theta} dtheta = a sqrt{cot^2 theta} tan theta ln[sin theta]|_{b}^{c}$.

Por ejemplo, para $latex a=1$, $latex b = frac{pi}{4}$ y $latex c = frac{pi}{2}$ nos queda $latex L[gamma]_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} = frac{ln{2}}{2}$ y para $latex L[gamma]_{frac{pi}{8}}^{frac{pi}{2}} = -ln{sin frac{pi}{8}}$.

¿Necesitamos calcular la conexión de Levi-Civita $latex nabla$, que es la única libre de torsión (dados dos campos vectoriales $latex X, Y$, como $latex T(X,Y) = nabla_X Y – nabla_Y X – [X,Y]$, lo que tenemos es que $latex nabla_X Y – nabla_Y X = [X,Y]$) que preserva la métrica ($latex nabla_g = 0$) para calcular las geodésicas?

Pues no.  En el libro Geometría Diferencial y Relatividad de J. Girbau encontramos una receta del procedimiento para calcular las geodésicas basada en, a grandes rasgos:

  • Llamamos geodésica a toda curva $latex x(t)$ tal que $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)} = 0$.
  • En coordenadas, $latex nabla_X Y = ( X(Y^k) + Y^j X^i Gamma_{ij}^k) e_k$.
  • En una carta local $latex (U,x^i)$, le ecuación $latex nabla_{dot{x(t)}} dot{x(t)}$ se escribe $latex frac{d^2 x^i}{dt^2}+Gamma_{jk}^i frac{dx^j}{dt} frac{dx^k}{dt} = 0$ donde $latex Gamma_{jk}^i$ son los símbolos de Christoffel relativos a la base $latex partial_{x^i}$.
  • “muchos matemáticos alejados del mundo de la física o del cálculo de variaciones en su formulación primitiva de Euler”, como es mi caso :-), “tienen la firme convicción de que para escribir explícitamente las ecuaciones de las geodésicas de una determinada métrica de Riemann es indispensable haber calculado previamente la derivada covariante $latex nabla$ asociada a la métrica, ya sea por sus símbolos de Christoffel o per algun otro método equivalente. Nada mas lejos de la realidad”.
  • Tendremos la métrica $latex g$ que depende de $latex x^1,ldots,x^n$. Escribimos, formalmente, la función de $latex 2n$ variables $latex x^i, dot{x}^i$ que volvemos a denotar $latex g$ abusando de la notación. Entonces, con la convención $latex frac{d}{dt}x^i = dot{x}^i$ y $latex frac{d}{dt}dot{x}^i = ddot{x}^i$, las ecuaciones de las geodésicas son: $latex frac{d}{dt} frac{partial}{partial dot{x}^i} g = frac{partial}{partial x ^i} g $.

Vamos a aplicarlo, en primer lugar, a la esfera $latex S^2(frac{1}{a^2})$. Como:

$latex g = a^2 dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = a^2 , 2 sin theta cos theta dot{varphi}^2$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = a^2 , 2 dot{theta}$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = a^2 2 ddot{theta}$

$latex partial_{dot{varphi}} g = a^2 sin^2 theta 2 dot{varphi} $ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 sin theta (cos theta dot{theta} dot{varphi} + sin theta ddot{varphi})$.

Así pués, las ecuaciones de las geodésicas son:

$latex begin{cases}ddot{theta} – dot{varphi}^2 sin theta cos theta = 0 \ sin theta (2 dot{theta} dot{varphi} cos theta + ddot{varphi} sin theta) = 0 end{cases}$

En el caso de la pseudoesfera $latex mathbb{H}^2(-frac{1}{a^2})$ tenemos:

$latex g = a^2 cot^2 theta dtheta otimes dtheta + a^2 sin^2 theta dvarphi otimes dvarphi$,

entonces:

$latex g(theta,varphi,dot{theta},dot{varphi}) = a^2 cot^2 theta dot{theta}^2+ a^2 sin^2 theta dot{varphi}^2$,

de manera que:

$latex partial_theta g = 2 a^2 (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta )$

$latex partial_varphi g = 0$

$latex partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 dot{theta} cot^2 theta$ y entoces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{theta}} g = 2 a^2 cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta )$

$latex partial_{dot{varphi}} g = 2 a^2 dot{varphi} sin^2 theta$ y entonces $latex frac{d}{dt} partial_{dot{varphi}} g =2 a^2 sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta )$.

Así pues, las geodésicas cumplen:

$latex begin{cases} cot theta (ddot{theta} cot theta – 2 dot{theta}^2 csc^2 theta) – (-dot{theta}^2 cot theta csc^2 theta + dot{varphi}^2 cos theta sin theta ) = 0 \ sin theta (ddot{varphi} sin theta + 2 dot{theta} dot{varphi} cos theta ) = 0 end{cases}$

Para terminar, procediento de la misma manera para $latex mathbb{R}^2$ obtenemos que las geodésicas satisfacen:

$latex begin{cases} ddot{theta} = 0 \ ddot{varphi} = 0 end{cases}$

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