24 octubre, 2012

You are currently browsing the daily archive for 24 octubre, 2012.

En la siguiente simulación tenemos $latex 1000$ partículas. Cada partícula $latex a$ representa un péndulo de masa $latex m_a$ y posición $latex (x_a(t),y_a(t),z_a(t))$, con $latex z_a(t)$ constante, sometido a las fuerzas:

  1. $latex F_1 = -m_ag$, la fuerza de la gravedad, con $latex g$ constante.
  2. $latex F_2$, la fuerza elática de la suspensión, de sentido opuesta a la posición del péndulo y de magnitud $latex k_1d$, con $latex k_1 > 0$ y $latex d$ la variación de la longitud del péndulo respecto de su longitud en reposo $latex l$.
  3. $latex F_3$, la fuerza de fricción, con sentido opuesta a la velocidad del péndulo y magnitud $latex k_2v$, con $latex v = sqrt{(x_a’)^2+(y_a’)^2}$ y $latex k_2 > 0$.

La ley de Newton $latex F = ma$ queda, para cada uno de los péndulos, es decir, para cada partícula, como el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden:

$latex m_a begin{bmatrix} x_a»(t) \ y_a»(t) end{bmatrix} = F_1 + F_2 + F_3$

que es:

$latex m_ax_a» = -k_1 (1-frac{l}{sqrt{x_a^2+y_a^2}})x_a – k_2frac{x’_a}{sqrt{x_a’^2+y_a’^2}}$

$latex m_ay_a» = -k_1 (1-frac{l}{sqrt{x_a^2+y_a^2}})y_a – k_2frac{y’_a}{sqrt{x_a’^2+y_a’^2}}$

Podemos expresar este sistema como un sistemad de ecuaciones de primer orden introduciendo incongnitas adicionales: $latex u_a = x_a’$ y $latex v_a = y_a’$, con lo que nos queda:

$latex left {
begin{array}{rcl}
x_a’ &=& u_a \
y_a’ &=& v_a \
m_au_a’ & = & k_1 (frac{l}{sqrt{x_a^2+y_a^2}}-1)x_a – k_2frac{u_a}{sqrt{u_a^2+v_a^2}} \
m_av_a’ & = & k_1 (frac{l}{sqrt{x_a^2+y_a^2}}-1)y_a – k_2frac{v_a}{sqrt{u_a^2+v_a^2}} – m_ag \
end{array}
right .
$

En la siguiente simulación tomamos $latex m_a$ aleatoria para cada partícula $latex a$, por lo que tendremos que resolver el sistema de EDOs numéricamente para cada una de ellas. Además, tendremos $latex l=1$, $latex k_1 = 10000$ y $latex k_2=1$ en todos los péndulos. Cada uno de éstos se distribuye a lo largo de una espilar cilíndrica y las velocidades iniciales son, para todas ellas, $latex u_{a_0}=0$, $latex v_{a_0} = -0.7$ y $latex v_{z_0} = 0$. El intervalo de tiempo es desde $latex t_i = 0$ hasta $latex t_f=10$ que se divide en $latex 400$ subintervalos.

El resultado es el siguiente:

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=emirYBIds6o?rel=0&w=420&h=315]

Tags: , , ,