4 diciembre, 2013

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El operador Laplaciano en coordenadas cartesianas es:

$latex Delta u = frac{partial^2}{partial x^2} u + frac{partial^2}{partial y^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u = frac{partial^2}{(partial x^i)^2} u$.

¿Qué pasa cuando queremos expresarlo en otro sistema de coordenadas curvilineas tal que

$latex x=x(q^1,q^2,q^3) = x(q^i)$, $latex y=y(q^i)$, $latex z = z(q^i)$

cualesquiera? Pues despues de un poco de trabajo, se puede llegar a la expresión:

$latex boxed{frac{1}{h_1 h_2 h_3} frac{partial}{partial q^i} (frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2} frac{partial}{partial q^i} u)}$,

donde, si definimos el cambio de coordenadas

$latex boxed{phi(q^i) := (x(q^i),y(q^i),z(q^i))}$,

tenemos que

$latex boxed{h_i = |frac{partial}{partial q^i} phi|}$.

Para ver como funciona la formula, vamos a calcular el Laplaciano en coordenadas cilíndricas y en esféricas.

En el primer caso, tenemos que

$latex phi(r,theta,z) = (r cos theta, r sin theta, z)$ con

$latex r in mathbb{R}^+, theta in [0,2 pi], z in mathbb{R}$,

por lo que tenemos

$latex h_r = | frac{partial}{partial r} phi| = sqrt{(cos theta, sin theta, 0) cdot (cos theta, sin theta, 0)} = 1$,

$latex h_theta = |frac{partial}{partial theta} phi| = sqrt{(-r sin theta, r cos theta, 0) cdot (-r sin theta, r cos theta, 0)} = r$,

$latex h_z = |frac{partial}{partial z} phi| = sqrt{(0,0,1) cdot (0,0,1)} = 1$.

y entonces, al aplicar nuestra fórmula, obtenemos:

$latex frac{1}{r} bigg [ frac{partial}{partial r} ( r frac{partial}{partial r} u ) + frac{partial}{partial theta} ( frac{1}{r} frac{partial}{partial theta} u ) + frac{partial}{partial z} ( r frac{partial}{partial z} u ) bigg ] =$

$latex = frac{1}{r} (1 frac{partial}{partial r} + r frac{partial^2}{partial r^2}) u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u =$

$latex = boxed{frac{partial^2}{partial r^2} u + frac{1}{r} frac{partial}{partial r} u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} u + frac{partial^2}{partial z^2} u}$.

Ahora, en el caso de esféricas, tenemos:

$latex phi(r,theta,varphi) = (r sin theta cos varphi, r sin theta sin varphi, r cos theta)$ con

$latex r in mathbb{R}^+$, $latex theta in [0,pi]$ y $latex varphi in [0,2pi]$,

de manera que (el cuadrado hace referencia al producto escalar):

$latex h_r = |frac{partial}{partial r} phi| = sqrt{(sin theta cos varphi, sin theta sin varphi, cos theta)^2} = $

$latex = sqrt{sin^2 theta cos^2 varphi + sin^2 theta sin^2 varphi + cos^2 theta} = 1$

$latex h_theta = |frac{partial}{partial theta} phi| = sqrt{(r cos theta cos varphi, r cos theta sin varphi, – r sin theta)^2} = $

$latex = sqrt{r^2 cos^2 theta cos^2 varphi + r^2 cos^2 theta sin^2 varphi + r^2 sin^2 theta} = r$

$latex h_varphi = |frac{partial}{partial varphi} phi| = sqrt{(-r sin theta sin varphi,r sin theta cos varphi,0)^2} = $

$latex = sqrt{r^2 sin^2 theta sin^2 varphi + r^2 sin^2 theta cos^2 varphi + 0} = r sin theta$,

por lo que, con la fórmula, tenemos:

$latex frac{1}{r^2 sin theta} bigg [ frac{partial}{partial r} (r^2 sin theta frac{partial}{partial r}u) + frac{partial}{partial theta} (sin theta frac{partial}{partial theta}u) + frac{partial}{partial varphi} (frac{1}{sin theta} frac{partial}{partial varphi}u) bigg ] =$

$latex = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 frac{partial}{partial r}u) + frac{1}{r^2 sin theta} frac{partial}{partial theta} (sin theta frac{partial}{partial theta}u) + frac{1}{r^2 sin^2 theta} frac{partial^2}{partial varphi^2} u =$

$latex = frac{1}{r^2}(2r frac{partial}{partial r} + r^2 frac{partial^2}{partial r^2})u + frac{1}{r^2 sin theta}(cos theta frac{partial}{partial theta} + sin theta frac{partial^2}{partial theta^2})u + frac{1}{r^2 sin^2 theta} frac{partial^2}{partial varphi^2}u = $

$latex =boxed{ frac{partial^2}{partial r^2}u + frac{2}{r} frac{partial}{partial r}u + frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2}u + frac{cot theta}{r^2} frac{partial}{partial theta}u + frac{csc^2 theta}{r^2} frac{partial^2}{partial varphi^2}u}$

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Se pueden dividir los sistemas digitales (aquellos que trabajan con un conjunto discreto de valores para sus entradas y salidas en contraposición a los analógicos que lo hacen con un conjunto infinito)

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Podemos pensar las funciones como una especie de entidades que a partir de unas entradas nos generan unas salidas. Por ejemplo, en matemáticas la función $latex f(x)=2x$ recibe un número real como entrada y nos devuelve el doble de ese número como salida.

Así pues, tenemos que para definir una función necesitamos un conjunto al que pertenecen las entradas de la función, un conjunto al que pertenecen sus salidas y una manera de obtener estas últimas a partir de las primeras (obviamente, estos métodos han de ser capaces de trabajar con los conjuntos anteriores). En particular, para la función anterior, tenemos que tanto los conjuntos de entrada como de salida son los números reales $latex mathbb{R}$, es una función real de variable real, y la regla de transformación es sencillamente multiplicar por dos.

Por lo tanto, las funciones booleanas no son mas que funciones donde los conjuntos de entrada y de salida tienen que ver con los booleanos $latex mathbb{B} = { 0,1}$. O dicho de otra manera, tendran que ser capaces de trabajar solo con ceros y unos. Cuando escribimos

$latex f:mathbb{B}^n rightarrow mathbb{B}^m$

queremos decir que las entradas son  $latex n$ valores booleanos $latex overbrace{mathbb{B} times mathbb{B}}^{n}$ y lo mismo para los $latex m$ valores de salida. Nos centraremos en $latex m=1$, ya que

$latex f(b_1,ldots,b_n) = f_1(b_1,ldots,b_n) times ldots times f_m(b_1,ldots,b_n)$

con

$latex f_i:mathbb{B}^n rightarrow mathbb{B}$.

Una propiedad interesante de las funciones booleanas es que, debido a que la cardinalidad de los booleanos es $latex |mathbb{B}|=2$, entonces el número de combinaciones posibles para las entradas queda determinado por la aridad $latex n$ de la función de la siguiente manera:

$latex |mathbb{B}^n| = 2^n$.

Ésto justifica la utilización de las tablas de verdad para especificar el comportamiento de una función. En ella, se colocan a la izquierda todas las posibles combinaciones de las entradas, que como acabamos de ver es finito, y a la izquierda de cada una de las ellas el valor correspondiente de la función que estamos definiendo.

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